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+ ⃗⃗ = 0 para = 1, … ,
⃗⃗⃗
La ecuación anterior es un sistema no lineal de
ecuaciones algebraicas no trivial. Además, la
ecuación ya no depende de , así lo que
buscamos son las posiciones particulares del
sistema. El problema de las configuraciones
centrales de n cuerpos sigue siendo un problema
abierto si el número de configuraciones centrales
es finito para n ≥ 5.
La historia de las configuraciones centrales y los
equilibrios relativos ya tiene cierto tiempo, y Figura 1. a) Configuración colineal y b) configuración en
comenzó con el estudio del problema de 3- triángulos. Fuente: (Leyva, 2012), (Valtonen & Karttunen,
Cuerpos restringido. En 1764, Leonhard Euler 2006).
publicó (Montgomery y Buzelli, 2019) un bello
trabajo de los tres cuerpos donde demuestra que La órbita de figura ocho. Una solución coreográfica
si tres partículas de masas arbitrarias son colocadas del problema de n-cuerpos es una solución
sobre una línea recta (ver figura 1a) de tal forma periódica cuya órbita es una unión de curvas y
que la razón entre sus distancias satisface una cada curva es una trayectoria de al menos dos
complicada formula que sólo depende de las cuerpos. Si existe sólo una curva, entonces todas
masas, y si además se dan condiciones iniciales las masas se siguen una con otra formando un lazo;
apropiadas, entonces las partículas se mueven a esto se le llama coreografía simple (ver figura 2a).
periódicamente en elipses, manteniendo en todo Desde el descubrimiento de la solución de
momento la configuración colineal. triángulo equilátero arriba mencionada, no se
había encontrado otra solución para el problema
Años después, en 1772, Joseph-Louis Lagrange de tres cuerpos (ver figura 2 b). Fue hasta el año
(Fraser, 1985) descubrió una segunda familia de 2000 cuando se encontró otra solución
orbitas periódicas, mostrando que, si las tres masas coreográfica para dicho problema, en la que fue
son colocadas en los vértices de un triángulo descubierta la órbita como figura en forma de
equilátero, y si las velocidades iniciales son ocho. Lo anterior se da imponiendo ciertas
escogidas adecuadamente, entonces las simetrías a la órbita y usando métodos
partículas se mueven periódicamente en elipses variacionales; se demuestra la existencia de una
preservando la configuración de triángulo solución periódica del problema de 3-Cuerpos con
equilátero (ver figura 1b); el triángulo podrá masas iguales libre de colisiones, donde la
cambiar de tamaño, pero siempre será equilátero. configuración de la órbita tiene la forma de ocho,
En el problema de tres cuerpos restringido, existen el punto de intersección de la curva es el centro
cinco configuraciones centrales, éstas de masas y coincide con el origen a través de un
corresponden a tres configuraciones colineales y cierto período. Las tres masas alternan entre
dos configuraciones en triángulo equilátero (para configuraciones colineales y configuraciones en
detalles vea (Leyva, 2012) y (Valtonen & Karttunen, triángulo isósceles, vea Chenciner et al. (2000).
2006)). Además, se conoce la estabilidad de estas
configuraciones centrales que es de gran
importancia para la aplicación de sistemas
satelitales como puede ver en la referencia de
Meyer et al. (2000).
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Tlahuizcalli ISSN: 2448-7260 Año 10 Núm. 28 enero-abril 2024
