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Una de las grandes dificultades para resolver el
sistema anterior es la presencia de colisiones en el
modelo, es decir, cuando dos o más partículas
llegan a una misma posición al mismo tiempo.
Para n = 2, el problema es integrable, es decir,
conocemos todas sus soluciones. Esto se debe
principalmente a que sólo existe un tipo de colisión,
la dada por el choque entre las dos partículas o
colisión binaria, que se estudia como si se diera un
rebote elástico entre ellas. En términos
matemáticos decimos que esta singularidad es
regularizable; su solución puede ser encontrada en
Figura 2. a) Órbita con figura de ocho y configuración casi cualquier libro de mecánica celeste o
colineal y b) configuración de ocho con triángulo astronomía, y es conocido como el “Problema de
isósceles. Fuente: (Chenciner, 2000), (Leyva, 2012), Kepler”. Dependiendo de las condiciones iniciales
(Valtonen & Karttunen, 2006).
la solución puede ser: una elipse, una parábola o
una hipérbola. Entre las soluciones elípticas
Órbitas en forma de herradura. En este caso se incluimos a las órbitas circulares y a las soluciones
estudia el movimiento de los satélites Janus,
Epimetheus atraídos por Saturno. Los satélites rectilíneas, estas últimas son las únicas donde
siguen órbitas cercanas a una circunferencia puede darse una colisión, lo cual nos ayuda a
resolver totalmente este problema.
alrededor de Saturno. Cuando estos satélites se
aproximan, repentinamente cambian sus radios
ligeramente y se alejan; después de un tiempo los 3. Sobre las singularidades del problema
satélites vuelven a acercarse siguiendo este
proceso. Las órbitas son encontradas integrando En este trabajo mencionaremos dos tipos de
las ecuaciones del movimiento numéricamente en singularidades que se pueden encontrar en la
un sistema de coordenadas relacionado con los literatura (Devaney, 1982), (Diacu, 1996),
momentos de inercia y variables angulares, vea (McGhee, 1974) del “Problema de los n-Cuerpos”:
Bengochea (2009).
(a) Aquellas posiciones donde el lado derecho del
sistema de ecuaciones diferenciales (ecuación 1)
2. Planteamiento teórico no está definido y que corresponden a colisiones
entre dos o más cuerpos; esta peculiaridad
El fundamento de la mecánica celeste consiste en proviene de suponer en el modelo que los planetas
estudiar un sistema de ecuaciones diferenciales de son partículas puntuales (existen otros modelos
segundo orden del llamado “Problema de los n- donde la colisión no es posible de entrada).
Cuerpos”, de donde se pretende describir el
movimiento de n-masas puntuales sujetas a sus (b) Si ( ) es una solución definida en un intervalo
atracciones gravitacionales mutuas, vea: (Meyer máximo de definición, [0, ) y < ∞, decimos que
∗
∗
et al., 2000) y (Wintner, 1941). De la ley de atracción la solución tiene una singularidad en = .
∗
gravitacional de Newton, si ⃗⃗ es la posición del -
ésimo cuerpo, se tiene: En 1895, Paul Painlevé (Diacu, 1996) demostró que
las singularidades del Problema de los 3-Cuerpos
son necesariamente debidas a la colisión de al
̈
⃗⃗ = − ∑ 3 ( ⃗⃗ − ⃗⃗ ),(1)
=1, ≠ menos dos partículas, y esto dio origen a la
pregunta: ¿es posible que en el Problema de los n-
Cuerpos existan singularidades que no sean
| y el término cúbico en el
donde = | ⃗⃗ − debidas a colisión? Las técnicas que Painlevé
denominador viene de multiplicar la magnitud de empleó para su demostración no se pueden
| para
la fuerza por el vector unitario ( − )/| ⃗⃗ − generalizar para n ≥ 4, quedando como conjetura
obtener la dirección de la fuerza correspondiente. si su resultado es cierto para n ≥ 4.
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Año 10 Núm. 28 enero-abril 2024 Tlahuizcalli ISSN: 2448-7260
