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Propiedades de los Números

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

teorema fuNdameNtal de la aritmética Observación

Todo número mayor que la unidad se puede descomponer en factores pri-
mos diferentes elevados a exponentes naturales. Esta descomposición es
única y se llama descomposición canónica. Cantidad de divisores
DN = D primos + D compuestos + 1
Problema 4
2
Exprese la descomposición canónica de los números: 48; 60; 84 y 405.  28 = 2 ×7
Resolución: D28 = (2 + 1)(1 + 1)
• 48 2 • 60 2 • 84 2 • 405 3 = 3×2 = 6
24 2 30 2 42 2 135 3
12 2 15 3 21 3 45 3 D primos : 2; 7  2
6 2 5 5 7 7 15 3 D compuestos : 4; 14; 28  3
3 3 1 1 5 5
1 1 Donde:
4
2
4
2
48 = 2 ×3 60 = 2 ⋅3⋅5 84 = 2 ⋅3⋅7 405 = 3 ⋅5 D28 = 6 = 2 + 3 + 1
primos primos primos primos
caNtidad, suma y producto de divisores
Analicemos los divisores de 720:

• Cantidad de divisores (DN) Ten presente
720 2 D720 = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) ⇒ D720 = 30
360 2 Suma de los divisores Resuelve problemas de cantidad (Aritmética)
180 2 • Suma de los divisores (SDN) múltiplos de 
90 2 720 = 2 ·3 ·5 1 2 4+1 –1 3 2+1 –1 5 1+1 –1
4
2
45 3 SD720 = 2 – 1 ⋅ 3 – 1 ⋅ 5 – 1 • ¿Cuánto suman los diviso-
15 3 Divisores primos res múltiplos de 6, de 84?
2
5 5 SD720 = 31⋅13⋅6 ⇒ SD720 = 2418 84 = 2 ×3×7 = 6[2×7]

1 P
• Suma de la inversa de los divisores (SIDN) o
SD84(6) = 6SDP
Total divisores: 30 SID720 = SD720 ⇒ SID720 = 2418 = 403 2 – 1 7 – 2
2
2
 Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
Divisores primos: 3 720 720 120 = 6× 2 – 1 × 7 – 1
Divisores compuestos:
• Producto de los divisores (PDN) = 6×3×8
30 – 3 – 1 = 26
30
PD720 = 720 D720 ⇒ PD720 = 720 = 720 15 = 144
• ¿Cuánto suman los diviso-
Problema 5 II. (V) 12600 = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 res múltiplos de 12, de 300?
3
2
2
2
2
2
Evalúe las proposiciones: D12600 = 4⋅3⋅3⋅2 = 72 300 = 2 ×3×5 = 12[5 ]

P
I. 12 tiene doble de divisores que 12. Dprimos = 4 SD300(12) = 12SDP
2
o
II. 12600 tiene 67 divisores compuestos. Dcompuestos = 72 – 4 – 1 = 67 3 Prohibida su reproducción total o parcial
III. Si 200 se multiplica por 3 su canti- = 12× 5 – 1
3
2
dad de divisores se duplica. III. (V) 200 = 2 ⋅5 5 – 1
Resolución: ⇒ D200 = 4⋅3 = 12 = 12×31
2
3
2
I. (F) 12 = 2 ⋅3 ⇒ D12 = 3⋅2 = 6 200·3 = 2 ⋅5 ⋅3 = 372
2
4
2
2
12 = 2 ⋅3 ⇒ D12 = 5⋅3 = 15 ⇒ D600 = 4⋅3⋅2 = 24
Se duplica D200
15 no es doble de 6.
Rpta.: FVV
Matemática 1 - Secundaria 37