Page 40 - Matematica 1° Sec

MCD y MCM

2. Por DesCoMPosiCión CanóniCa Datos
Obtenida la descomposición canónica de varios números, el MCD es igual al
producto de los divisores primos comunes elevados a su menor exponente, Algoritmo de
y el MCM es igual al producto de los divisores primos comunes y no comu- Euclides
nes elevados a su mayor exponente.
El algoritmo de Euclides es
3
2
2
2
A = 2 ×3 ×5×7 MCD (A, B) = 2 ×3 ×5 un método antiguo y eficaz
2
4
4
3
B = 2 ×3 ×5×11 MCM (A, B) = 2 ×3 ×5×7×11 para calcular el máximo co-
mún divisor (MCD) de dos
Problema 2 números. El algoritmo de
Dados A = 2 n+1 n n 2n Euclides permite además:
3 , B = 2 3 y MCD(A, B) = 36, calcule el MCM(A, B).
Resolución: • Simplificar fracciones.
n n
n
n
2
2
n
n
MCD(A, B) = 2 ⋅3 ⇒ 2 3 = 36 ⇒ 2 ⋅3 = 2 ⋅3 ⇒ n = 2
• Resolver ecuaciones
3
2n
4
MCM(A, B) = 2 n+1 ⋅3 ⇒ MCM(A, B) = 2 ⋅3 = 648 Rpta.: 648 diofánticas.
• Expresar cualquier frac-
3. algoritMo De euCliDes Para el CálCulo Del MCD De Dos núMeros ción en forma de fracción
Se divide el mayor entre el menor. Si la división es Calculemos el continua.
inexacta, se divide el menor entre el resto. Si la di- MCD(68; 40)
visión sigue inexacta, se divide el primer resto entre 68 40 28 12 4
2 3
1
1
Resuelve problemas de cantidad (Aritmética) Problema 3 1 3 4 2 1 1 24 6 462 180 102 78 24 6
el segundo resto, así sucesivamente hasta que la di-
visión resulte exacta. El MCD es el último divisor.
28 12 4
0 MCD
El MCD de dos números es 6 y al calcularlo por el algoritmo de Euclides se ob-
tuvo los cocientes sucesivos 2; 1; 1; 3 y 4. Calcule la diferencia de los números.
Resolución:

3
4
1
1
4
3
2
1
2
6
102 78
6
0
0
6
24
0
462 – 180 = 282

Rpta.: 282
Personaje
PROPIEDADES DEL MCM Y MCD PARA DOS NÚMEROS
Prohibida su reproducción total o parcia l
1. Si un número es múltiplo de otro, el MCM es el mayor de ellos y el
MCD, el menor.
o
Si A = B  MCM(A, B) = A  MCD(A, B) = B

o  Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
 18 = 6  MCM(18; 6) = 18  MCD(18; 6) = 6
o Euclides
 50 = 10  MCM(50; 10) = 50  MCD(50; 10) = 10 (325 - 265 a.n.c.)
Problema 4 Fue el líder de un equi-
2
2
El MCD de (2n + 1) y 3(2n+1) es 7. Calcule el MCM de 4(n + 1) y (n + 1). po de matemáticos que
trabajó en Alejandría, hizo
Resolución: una recopilación de los
Se observa que 3(2n + 1) es múltiplo de (2n + 1) ⇒ MCD = 2n + 1 = 7 ⇒ n = 3. conocimientos de la época
y los dejó en la obra Los
2
2
2
2
4(n + 1) es múltiplo de n + 1 ⇒ MCM = 4(n + 1) = 4(3 + 1) = 40 Elementos.
Rpta.: 40
40 Matemática 1 - Secundaria