Page 104 - 20 Euclides

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cambio, son complejas. Euclides las ofrece y además da la arista
en función del diámetro de la esfera circunscrita. Constituyen las
proposiciones 13 a 17 del Libro XIII. Todo se reduce a ver cómo
se construye el círculo que circunscribe una cara del sólido, una
construcción fruto del análisis. Como ejemplo, veamos la cons-
trucción de la cara del tetraedro regular (véase la figura).
Dividimos el diámetro AB de la esfera por un punto C de ma-
nera que AC=2 BC. Tiramos una perpendicular a AB por C hasta
que corte la semicircunferencia ABD en el punto D. Con radio CD
trazamos una circunferencia y consideramos el triángulo equilá-
tero inscrito en ella. Se obtienen tres puntos E, F, G. Por el centro
H del triángulo t:i.EFG levantamos una perpendicular al plano que
lo contiene HK igual a AG. Unimos K con los vértices E, F, G y
obtenemos el tetraedro. Nuevamente se observa que para lograr
esta construcción previamente se tiene que haber realizado un
«análisis» en el sentido expuesto en el recuadro dedicado a la
construcción del pentágono regular. Sin dicho análisis es imposi-
ble la construcción, puesto que no sabríamos qué hay que hacer.
Cuando se trata del icosaedro y del dodecaedro, sin embargo,
no es tan simple. Es por ello que Hipsicles dedicó una parte impor-
tante del Libro XIV a rehacer dichas construcciones. Pero la cons-
trucción realmente extraordinaria es la del icosaedro que ofrece
el italiano Luca Pacioli (1445-1514 o 1517) en La divina propor-

104 LA TÉCNICA DEL TÁ NGRA M EN LOS «ELEMENTOS»