Page 99 - 20 Euclides

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ABCIFG tienen la misma superficie, pero la segunda tiene un lado
menos que la primera. Si repetimos el proceso llegaremos a un
triángulo con la misma superficie que la figura rectilínea inicial.
En consecuencia, toda figura poligonal rectilínea es triangulable.
A continuación, se comprueba que todo triángulo se puede
convertir en un rectángulo de la misma superficie, es decir, que
todo triángulo es rectangulable. La figura 12 habla por sí sola.
Queda el último paso: Todo rectángulo es cuadrable (Libro II,
proposición 14). Supongamos que nos dan un rectángulo • AD y
queremos convertirlo en un cuadrado. Observemos la figura 13.
Llevamos el lado CD a continuación del lado AG. Dividimos el seg-
mento AB por la mitad mediante el punto G. Con centro en él y
radio GB tiramos media circunferencia. Levantamos la semicuerda
FC perpendicular a AB en el punto C. El segmento FC produce un
cuadrado de la misma superficie que el rectángulo inicial.
Hasta aquí la construcción, que puede llevarse a cabo con
regla y compás en todos sus pasos. Cabe demostrar que FC
cumple lo que se busca. Si tomamos
los segmentos r[ = GF=AG= GB] y
s [ = GC], veremos que el rectángulo FIG.13
' F
tiene una superficie igual a (r + s) (r-s ), / I '
/ / '
2
2
cuyo valor es igual a r -s . Ahora bien, / / r / I \
FC es un cateto del triángulo rectán- I / \
I / 1
gulo 6.FCG. Y, por el teorema de Pitá- / 1
A ______ G_-----.:a
✓
2
2
goras, su cuadrado vale r -s • Por s e
tanto, el rectángulo • AD es igual al
cuadrado FC, que es la equivalencia E D
que buscábamos. Euclides procedió de

LA TÉCNICA DEL TÁNGRAM EN LOS «ELEMENTOS» 99