Page 83 - 20 Euclides

El enunciado le permite a Euclides una demostración directa;
en cambio, si hubiese aceptado el infinito en acto, corno por otro
lado se hace hoy en las escuelas, se habría visto obligado a dar una
demostración indirecta. Este es uno de los problemas que, en mu-
chas ocasiones, plantea el infinito: nos obliga a recurrir a
demostraciones indirectas, por reducción al absurdo.
A continuación, comprobaremos las diferencias metodológi-
cas entre ambos tipos de demostración. Empezaremos por la di-
recta, partiendo del enunciado euclídeo.
Supongamos una cantidad finita de números primos: a, b, .. . ,
m . Consideremos el número N = ( a x b x ... x m) + l. En el caso de
que N fuese primo, habría un número primo distinto de a, b, ... , m.
En cambio, si N fuese un número compuesto - no primo-, ten-
dría un divisor primo (Libro VII, proposición 32) y, por la cons-
trucción de N, debería ser diferente de cada uno de los primos a,
b, ... ,m.
Abordaremos ahora la demostración indirecta. Partiremos
para ello de un enunciado alternativo de la proposición 20:

Hay infinitos números primos.

En caso contrario, habría una cantidad finita a, b, .. . , m que
contendría la «totalidad» de los números primos. Si copiáramos
ahora la demostración anterior, obtendríamos un número primo
distinto de a, b, ... , m; luego, a, b, .. . , m no serían «todos».
Ahora bien, Euclides no puede evitar completamente el infi-
nito en acto. Así, por ejemplo:

Libro I, definición 23. Dos rectas paralelas son las que,
hallándose en un mismo plano, prolongadas indefinidamente
no se cortan por ningún lado.

En la definición aparece de forma explícita el término «inde-
finidan1ente», que implica el infinito en acto. Además, ya en el
Libro I, hay dos proposiciones en las que lo emplea también de
forma explícita; en el enunciado, en la primera, y en la demostra-
ción, en la segunda. Se trata de dos problemas:

EL LIBRO I Y LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO 83