Page 85 - 20 Euclides

caso, debe llevar los tres lados dados encima de una recta; hace
falta que la recta los pueda contener con independencia de la
longitud «concreta» de cada caso particular; por ello precisa de
una semirrecta infinita. Por lo tanto, en cierta medida, la limi-
tación de Aristóteles «les quita» algo a los matemáticos en su
quehacer.
Pasarían nueve siglos desde que Aristóteles impusiera limi-
taciones al uso del infinito y que Proclo escribiera sus Comenta-
rios del Libro I de los Elementos de Euclides y diera su propia
opinión al respecto. Lo hace en el marco de su análisis de la pro-
posición 12 del Libro I:

Conviene examinar de qué manera el infinito posee, en general, un
fundamento. Es manifiesto que, si una recta es infinita, el plano que
la contiene también será infinito, y esto en potencia efectiva [ ... ]
Queda, pues, la posibilidad que el infinito exista en la imaginación
sin que la imaginación conciba· el infinito, porque la imaginación
concibe y aplica a la vez una forma y un límite a todo lo que concibe
[ ... ] La imaginación no concibe el infinito sino que, hallándose con
una incerteza respecto de este objeto, suspende todo pensamiento
ulterior y llama infinito todo lo que repudia como algo que no puede
ser ni medido ni abrazado por la concepción [ ... ] La imaginación
crea, pues, el infinito por la potencia indivisible de poder progresar
sin fin y, en lugar de concibir el infinito, lo concibe como supuesto
[ ... ] De manera que si coloca la recta infinita en la imaginación de la
misma manera que las otras figuras geométricas [ ... ] no nos sorpren-
de que esta recta sea infinita en potencia efectiva y que, tomada de
forma indeterminada, se aplica a los conceptos determinados.
Por otro lado, el conocimiento razonado, del cual provienen
los razonamientos y las demostraciones, no usa el infinito en la cien-
cia[ ... ]. No admite el infinito en relación con lo infinito; lo admite
en relación con lo finito [ ... ] De lo cual, si sacamos partido del de-
fecto que supone la certeza de que la imaginación tiene limitaciones
y que ello constituye el fundamento de la generación del infinito,
entonces la ciencia supone la existencia del infinito a fin de que,
conservando la línea finita, pueda usar de esta existencia de mane-
ra impecable e incontrovertible.

EL LIBRO I Y LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO 85