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Pero, ¿es licito invent,ar números así como así? ¿ Qué representa
ese «número» w? Hasta el siglo XIX, todos los conceptos con los que
trabajaban los matemáticos estaban fuertemente ligados a proble-
mas que podemos llamar «concretos», a situaciones que podían ser
visualizadas o asociadas con hechos reales; como la descripción
de fenómenos físicos, el estudio de las propiedades de los objetos
geométricos, o las propiedades de las cantidades finitas (1, 2, 3, 4, ... ).
El número O, por ejemplo, que representa una «cantidad que no es»,
debió esperar muchos siglos antes de ser reconocido como un nú-
mero de pleno derecho; otro tanto puede decirse de los números
negativos, cuya existencia, por ejemplo, era todavía rechazada por
Leibniz, en una fecha tan cercana como principios del siglo XVIII. Los
números, en general, solo eran aceptados si representaban, de algún
modo, una cantidad que pudiera visualizarse de manera concreta.
El número w representa una cantidad infinita en acto, no re-
presenta ningún objeto concreto ni ningún fenómeno físico, ni
puede visualizarse más que con los ojos de la mente. Pero Cantor,
con su pensantiento riguroso, nos obligó a aceptarlo como exis-
tente, y su modo de entender las matemáticas debió cambiar para
adaptarse a este hecho. Es así como, hoy en día, ya no se exige a
los objetos matemáticos que tengan un correlato real o que sean
la representación de un fenómeno concreto; solo se les pide co-
herencia lógica, y dentro de esa única exigencia los matemáticos
actuales son libres de crear, estudiar, manipular y analizar con-
ceptos, ideas y teorías.
La esencia de las matemáticas cambió después de Cantor, y
él mismo hubiera visto con enorme satisfacción este nuevo es-
tado de cosas, estado en el que los matemáticos pueden crear
libremente teorías y conceptos. Podemos afirmar que Cantor lo
hubiera visto con satisfacción, porque fue él quien dijo que las
matemáticas puras debían ser llamadas con más propiedad ma-
temáticas libres, porque, según sus propias palabras, «la esencia
de la matemática radica precisamente en su libertad».

12 INTRODUCCIÓN