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tado asombroso (véase la figura): seaN=2"(2"+ -l) =2"M, donde
1
hemos llamado Mal factor 2"+ - 1 (Mes uno de los llamados «nú-
1
meros de Mersenne», que veremos más adelante). Entonces, nos
dice Euclides, N es perfecto si M es primo.
Como puede verse fácilmente, todos estos números N son
pares. No sabemos aún si existen números perfectos impares. Es
uno de los grandes problemas abiertos de la teoría de números. Sin
embargo, se sabe que, si existen, tienen que cumplir un conjunto
de condiciones tan complejas que muchos matemáticos piensan
que sería un milagro que lo consiguieran. Tampoco sabemos si los
números de la forma N son infinitos, porque no se sabe si el nú-
mero de primos de la forma M, los primos de Mersenne, es infinito.
Lo que sí puede afirmarse, dado que Euler lo demostró años des-
pués de la muerte de Fermat, es que el recíproco del teorema de
Euclides es cierto: todo número perfecto par tiene la forma N.
Como es evidente, hay números que no son perfectos. Estos
se dividen en dos tipos: aquellos en los que la suma de sus diviso-
res propios es menor al número, llan1ados números abundantes, y
Representación aquellos en los que dicha suma es mayor al número, llamados nú-
gráfica de un
número perfecto. meros deficientes (ya que se quedan cortos respecto de la suma).

~ ~ lllll lllll lllll lllll lllll ll lll lllll lll ll lll ll ll lll ll lll 111111111111111 % % % % % % % ~ ~ ~ ~ •

2 • 1 4 ~~~
11 %
11111 %
7 %
11111
11111 %
11111 %
14
11111 %
11111
11111
11111
2
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2 X 14 = 4 X 7 = 2 2 X (2 +l - 1)
11111
11111
11111
1 1111
L

68 LA MODERNA TEORÍA DE NÚMEROS