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DEMOSTRACIÓN DE LA INFINITUD DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Esta demostración se debe a Euclides, y procede por el ya conocido méto-
do de reducción al absurdo. Supongamos que la conclusión es falsa y los
números primos son finitos. Esto quiere decir que hay un número primo
máximo. Llamémosle Pn· Ahora bien, construyamos el número N como el
producto de todos los primos más uno: N=P,Pr-Pn-,Pn +l =An +l. Este nú-
mero no es divisible por ningún primo desde p, hasta Pn, ya que, para ser
divisible, tendría que serlo también tanto An como 1, y, claramente, ningún
número divide a 1, salvo él mismo. Es decir, o bien N es un número primo, o
bien contiene factores primos mayores que Pn· Por tanto, hemos encontra-
do un número primo mayor que pn, contradiciendo nuestra hipótesis de que
Pn es el número primo máximo. Se sigue que la hipótesis es falsa y que el
número de primos es infinito.

Finalmente, hay otros números muy relacionados con los nú-
meros perfectos: los llamados números amigos. Dos números son
amigos entre sí cuando la suma de los divisores propios de uno es
igual al otro y viceversa. En la Antigüedad, el único par de núme-
ros amigos conocido era 220 y 284. En efecto, los divisores pro-
pios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, y 284 = 1 + 2 + 4 +
+ 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. Análogamente, los · divisores
propios de 284 son 1, 2, 4, 71, 142, y 220= 1 +2 +4+ 71 + 142.
También este par de números amigos tenía un significado
mágico-místico. En la Edad Media, se creía que si dos personas
comían dos panes en los que se habían inscrito estos dos núme-
ros, respectivamente, esas personas serían amigas para siempre,
aunque no se conocieran con anterioridad.
La resurrección del misticismo pitagórico al principio de la
Edad Moderna mantuvo el interés en estos problemas. En su libro
Traité de l'harmonie universeUe, Mersenne afirmaba que Fermat
había descubierto un par de números anúgos, 17296 y 18416, el
primer par de números amigos descubierto desde la Antigüedad.
Y también que Fermat había demostrado que tanto 120 como 672
eran números deficientes con valor igual a la mitad de la suma de

LA MODERNA TEORÍA DE NÚMEROS 69