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sus divisores propios ( es decir, dicha suma es 240 y 1344 respec-
tivamente). Tales números se conocen como números multiplica-
tivamente perfectos o k-perfectos.

«[Entre] los hombres de alta alcurnia ... que han hecho
aportaciones en esta área de las matemáticas y a quienes nadie
puede enseñar nada, repetiría el nombre de ... [Étienne Pascal]
y añadiría el del Sr. Fermat ... »

- COMENTARIO DE MARIN MERSENNE EN SU LIBRO TRAITÉ DE CHARMONJE UNJVERSELLE (1636).
Así, ya en 1636 Fermat estaba preocupado por cómo determi-
nar la suma de los divisores propios de un número dado, y segura-
mente por aquel entonces tenía un método para hacerlo. Dicho
método nunca fue publicado y está perdido. Nos ha llegado, sin
embargo, un método debido a René Descartes. Dado que todo nú-
mero se puede expresar como el producto de potencias de sus
factores primos, N = Pt' p; • • • p;;,, los divisores propios serán todas
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las combinaciones posibles entre dichos factores. Por ejemplo,
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2
2
2
1452 =2 -3-11 y los divisores propios son 2, 3, 11, 2 , ll2, 2-3, 2 -3,
etc., cubriendo todas las combinaciones. Descartes encontró una
fórmula que, dados resultados anteriores, proponía un nuevo divi-
sor propio, hasta agotar todos ellos. Es lo que se conoce como una
fórmula recursiva. El método de Fermat seguramente era similar.
Fermat derivó varios resultados a partir de su método. Por
ejemplo, envió a Mersenne un par de resultados que este incluyó
en la segunda parte de su Harmonie, publicada en 1637. El pri-
mero proponía un método general para encontrar números ami-
gos, similar en estructura a la que aplicó Euclides para encontrar
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números perfectos. En particular, si tres números A = 3 • 2 " - ,
B = 3. 2n-l y e= 3. 2"- -1 son primos, entonces 2"A y 2"BC son nú-
1
meros amigos. Nótese la similitud de este resultado con el de
Euclides sobre números perfectos. El segundo resultado daba una
fórmula similar para un caso específico de números multiplicati-
vamente perfectos, los que son la tercera parte de su suma de di-
visores propios. El argumento era similar: si un número de cierta
forma es primo, el resultado de la fórmula es un número que, mul-

70 LA MODERNA TEORÍA DE NÚMEROS