Page 75 - 16 Fermat

Fermat usó el tercer resultado para demostrar que no existe
ningún número perfecto de 20 o 21 dígitos. Primero, determinó que
37
2 -1 es el único número de Mersenne que puede generar, a través
de la fórmula de Euclides, un número perfecto de 20 o 21 dígitos
( esto implica conocer y dar por válido el recíproco del teorema de
Euclides, que demostró Euler años después). Luego determinó que
ese número de Mersenne no es primo, siendo divisible por
223 = 3 • (2 • 37) + 1, que precisamente tiene la forma k (2n) + 1. En
efecto, en vez de tener que calcular la cantidad enorme de primos
que podrían dividir al trigésimo séptimo número de Mersenne, a
Fermat le bastó ir probando los números k (2 • 37) + 1 para distintos
valores de k. Al tercer intento ya había encontrado la respuesta.
En su carta a Frénicle, Fermat decía que había comenzado a
vislumbrar la luz de resultados maravillosos. Pero en realidad, esa
luz ya la había visto. Los dos últimos resultados de los que hablaba
a Frénicle eran corolarios de un resultado mucho más general, lo
que hoy en día se conoce como el «pequeño teorema de Fermat»,
para diferenciarlo del último teorema. Es una paradoja que el «pe-
queño» teorema sea mucho más útil en teoría de números que el
«último», pero así lo ha querido la terminología.

EL RECIPROCO DE UN TEOREMA
La demostración directa de un teorema procede de las hipótesis, y paso por
paso avanza hacia la conclusión. Algunos de estos pasos son invertibles; otros
no. En general, un paso que tenga una implicación no es invertible. Veámoslo
con un ejemplo cotidiano. Se puede deducir que la acera está mojada del
hecho de que está lloviendo, pero no podemos deducir que está lloviendo
porque la acera está mojada; lo último puede haber pasado por circunstancias
ajenas a la lluvia, desde un camión cisterna que derrama agua a su paso has-
ta una manguera con la que se riega la acera. Si llueve, entonces la acera está
mojada, pero no necesariamente al revés. Decimos que el hecho de que llue-
va es una condición suficiente para que la acera esté mojada, pero no es ne-
cesaria. Esta unidireccionalidad está presente, entre muchos otros, en el pe-
queño teorema.

LA MODERNA TEORÍA DE NÚMEROS 75