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sible por 641. Fermat era consciente de que no podía probar este
resultado, y reflejó su frustración por ello durante muchos años;
en 1659, anunció una prueba a su amigo Carcavi, pero dado el
contraejemplo de Euler, esa prueba, de haber existido, segura-
mente era errónea. En todo caso, está claro que el pequeño teo-
rema le permitía a Ferrnat eliminar de sus cálculos todo un
conjunto de números primos candidatos a divisores de números
de cierta forma, lo cual agilizaba las pruebas de prirnalidad de di-
chos números; sin embargo, para su gran frustración, nunca logró
lo que ambicionaba: un teorema que le permitiera deshacerse de
todos los primos elirninables para dichos tipos de números.
A día de hoy no existe un método verdaderamente eficiente
y seguro para generar números primos de tamaño arbitrario; no
existe una fórmula cerrada corno la que encontró Euclides para
los números perfectos pares. La mayoría de los métodos de ge-
neración de primos requieren conocer todos los primos hasta
un cierto número previo, o bien saber si los números vecinos al
candidato a primo son factorizables. De ahí que las pruebas de
prirnalidad sean fundamentales: en general, primero se busca un
candidato a primo y luego se prueba si lo es.
A finales de 1640, Fermat parecía haber perdido interés en las
sumas de divisores propios. Sus siguientes exploraciones en teo-
ría de números emparentan directamente con su último teorema.

LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Y EL ENFOQUE GENERALIST A

Los triángulos rectángulos racionales son temas racionales - lla-
madas pitagóricas- de números x, y y z que cumplen el teorema
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de Pitágoras: x +y =z •
Estas temas son muy antiguas y se encuentran ya en Babilo-
nia y en Egipto. Pero Euclides demostró que dados dos números
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racionales p y q, z = p + q , x = p - q e y = 2pq es una tema pitagó-
rica. Se sigue inmediatamente que el número de temas pitagóricas
es infinito, porque los racionales son infinitos.

80 LA MODERNA TEORIA DE NÚMEROS