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En el mismo año 1640 Fermat anunciaba el pequeño teorema
a Frénicle. El pequeño teorema de Fermat es uno de esos resulta-
dos que solo es aplicable a un número primo. En su enunciado
actual, el teorema dice que, dados un primo p y un número na-
tural a, con a y p primos relativos (o sea, que p no divide a a),
av- - l es divisible por p. Al principio no parece clara la relevancia
1
de este teorema, pero el hecho es que establece una propiedad
fundamental de los ladrillos, los primos, que tiene consecuencias
muy interesantes.
Godfrey Hardy, hacia 1912, notaba con satisfacción que los
problemas de la teoría de números no tenían aplicación práctica.
Sin embargo, este hecho cambió radicalmente cuando, en 1977, se
desarrolló un algoritmo de encriptación llamado RSA, que depende
críticamente de la diferencia en eficiencia entre factorizar un nú-
mero en dos factores primos ( encontrar la solución) y multiplicar
dos factores para obtener un número (comprobarla solución).
Violar el código requiere factorizar un número enorme. Esto
tiene que ser muy difícil para que el algoritmo tenga éxito. En
cambio, quienes conocen los factores pueden fácilmente codifi-
car y descodificar el mensaje, ya que ello solamente requiere una
multiplicación. Por primera vez, la teoría de números tenía una
aplicación práctica. De este principio dependen hoy en día todas
las transacciones encriptadas que se llevan a cabo en Internet,
nada menos. Sin embargo, la seguridad del método, entendida
como la diferencia de tiempo entre codificar y descodificar, por
un lado, y violar el código, por otro, no ha podido ser demos-
trada. Toda nuestra economía electrónica pende de ese hilo ma-
temático, aunque la mayoría de los expertos cree que el algoritmo
es seguro.
Sea como fuere, a partir de la implantación generalizada del
RSA, tanto las pruebas de primalidad -el primer paso del algo-
ritmo es encontrar dos primos enormes- como los algoritmos de
factorización --que, en el peor de los casos, podrían destruir la
seguridad del RSA- han cobrado una importancia práctica
enorme.
Fermat estaba, pues, preocupado por el problema de la pri-
malidad. Como ejemplo de una prueba de primalidad trivial, uno

76 LA MODERNA TEORÍA DE NÚMEROS