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displicencia, era imposible que Fermat creara escuela, se allegara
discípulos, tomara el papel de un líder explorando territorio nuevo.
Siempre que Fermat trabajó en problemas que preocupaban
a sus contemporáneos, sus contribuciones fueron razonable-
mente reconocidas. Pero en teoría de números estaba solo. Él era
el pionero. Nadie le entendía, nadie comprendía por qué esos
problemas en apariencia triviales, sin ninguna aplicación, tenían
la menor importancia. Que ninguna persona le hiciera caso le
causó una enorme amargura, que comenzó a manifestarse gra-
dualmente en una beligerancia cada vez mayor contra sus con-
temporáneos.
En su correspondencia con Fermat, a través de Mersenne,
Frénicle retó a Fermat a que encontrara un número perfecto de
20 dígitos. La respuesta del matemático tolosano fue inmediata:
no existe tal número, como tampoco existe uno de 21 dígitos, lo
cual a su vez demuestra que la conjetura de que existe al menos
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un número perfecto en cada intervalo entre 10" y 10 + es falsa.
En una de las raras ocasiones en las que Fermat mostró algu-
nas de sus bazas, en su respuesta a Frénicle, en 1640, afirmaba que
los números de Mersenne M=2P-l solo son primos cuando el
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exponente es primo. También que, sin es primo, n divide a 2 n- - l
y, finalmente, que si n es primo, los únicos divisores posibles de
2 11 - l tienen la forma k (2n) + 1. Pero como era habitual, Fermat no
ofreció ninguna prueba.
El primer resultado es muy importante, ya que permite descar-
tar una gran cantidad de números de Mersenne como candidatos
a primos. El segundo y el tercero son atajos. El segundo permite
encontrar al menos un divisor de un cierto número de Mersenne
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( que puede ser el propio número, como demuestra 2 - -1 = 3, que
divide a 3) y el tercero permite limitar la forma de los factores de
otro número de Mersenne, con lo que su búsqueda -y la conse-
cuente demostración de si el número es primo o compuesto- se
vuelve mucho más eficiente: se limita a los números de esa forma,
excluyendo todos los demás. Si bien Fermat no conocía métodos
de búsqueda de primalidad mejores que la criba del griego Eratós-
tenes de Cirene (276-194 a.C.), sí podía determinar la primalidad
de ciertos números muy rápidamente gracias a estos atajos.

74 LA MODERNA TEORIA DE NÚMEROS