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que 1/3 = 0,33333 ... y 1/7 = 0,142857142857 ... , pero 1/5 = 0,2, sin
repetición periódica. La discusión anterior debería servir para en-
tender que el pequeño teorema es uno de los resultados más im-
portantes de la teoría de números.

«He aquí el teorema fundamental que se cumple en cada
grupo finito, llamado habitualmente pequeño teorema
de Fermat, porque Fermat fue el primero en probar
una parte especial de él.»

- ANOTAC IÓN DEL MATEMÁTICO ALEMÁN KURT HENSEL EN SU LIBRO
TEORÍA DE NÚltfEROS (ZAHLENTI/EORIE, 1913).

Por supuesto que Fermat, fiel a su costumbre, no dejó ninguna
demostración. Este fue demostrado por Euler, que ignoraba que
Leibniz, unos años antes, lo había demostrado a su vez, aunque
el resultado no se publicó hasta el siglo XIX. La demostración de
Leibniz usa matemáticas al alcance de Fermat, con lo que es po-
sible que la demostración de Fermat, si existió, discurriera por
líneas similares.
De todas formas, las aplicaciones posteriores evidentemente
no fueron intuidas por Fermat. Para él, el teorema era una herra-
mienta para probar la primalidad de ciertos números, como 2"- 1.
Era uno de sus atajos para evitar la criba de Eratóstenes. Por
ejemplo, gracias a su pequeño teorema, Fermat fue capaz de ata-
car números de la forma a" -1 con a> 2, que nunca son primos;
reduciendo los candidatos a sus divisores primos a un conjunto
menor. Como es fácil de ver, estos números son una generaliza-
ción de los números de Mersenne. También le pemutió atacar de
la misma forma, limitando la fom1a de sus posibles factores, nú-
meros de la fom1a a" + 1, que, según afirmó, solo son primos si a
es par y n de la forma 2"'·. Fue en el curso de esta investigación
cuando descubrió los llamados primos de Fermat, que cumplen
2
estas dos condiciones y otra más, que m sea primo: 2 " + 1, con p
primo.
Pero la intuición de Fermat falló en esta ocasión. Euler en-
contró un contraejemplo con p = 5. El número resultante es divi-

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