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sumas de dos cuadrados. El origen de ello fue un comentario de
Bachet a un problema de Diofanto; descomponer un número Nen
la suma de dos cuadrados de cuatro formas distintas.
La descomposición de números en sumandos es un problema
similar a la factorización. Si en esta se buscan divisores, en la
descomposición se buscan sumandos. Corno es obvio, los suman-
dos tienen que ser de un cierto tipo, ya que encontrar sumandos
cualesquiera es trivial. Fermat resolvió el problema, generalizán-
dolo a encontrar todas las formas en las que un número dado se
puede descomponer en la suma de dos cuadrados.
La solución es una fórmula que no escribiremos aquí. Baste
apuntar que la relevancia del resultado está en que Fermat logró,
de nuevo, un método general, y en que para probarlo usó una
curiosa propiedad de los primos, mucho más importante que el
problema en sí. En efecto, Fermat sabía que los números primos
de la forma 4k- l no pueden expresarse corno la suma de dos
cuadrados. También, aunque la demostración le costó un mayor
esfuerzo y fue realizada con su método de descenso infinito, de-
mostró que los números primos de la forma 4k + 1 siempre se pue-
den descomponer en la suma de dos cuadrados, y esa suma es
única. Fermat había logrado partir los primos impares en dos gru-
pos disjuntos según si obedecen o no cierta propiedad. Usó estos
dos resultados para demostrar que el problema de Bachet se
podía reducir a determinar, dado un número N, cuántos de sus
divisores primos son de la forma 4k-1 y cuántos de la forma
4k + l. En efecto, salvo el número dos, todos los primos se pueden
escribir de una forma u otra, dado que ambas formas cubren todos
los números impares. Por tanto, solo los divisores primos de la
fo_rrna 4k + 1 pueden formar dos sumandos y el número de formas
en que se puede descomponer N no es otra cosa que un problema
de combinatoria.
Nuevan1ente, vernos la potencia de la estrategia de concen-
trarse en los divisores primos. Es poco lo que podernos decir sobre
un número N general. Pero ¡sí que podernos hacer afirmaciones
sobre sus divisores primos, que literalmente rebosan propiedades
interesantes! Y ello nos lleva a descubrir algo sobre el número N.
Esta es la fructífera estrategia que Fermat usó una y otra vez. Él

LA MODERNA TEORÍA DE NÚMEROS 83