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Un número de Fermat, llamado así en honor a Pierre de Fer-
mat, el primero que los estudió, es un número de la forma siguiente:
2"
F,, = 2 +l,

donde n es un número natural.
Fermat había definido sus números primos con una intención
muy distinta de la de resolver los problemas de construcción de
polígonos con regla y compás ( de hecho, se pudo comprobar pos-
teriom1ente que no era cierto que todos los números de esa forma
fuesen primos).
Gauss probó que para que fuese posible construir un polígono
regular de n lados con regla y compás era necesario que los facto-
res primos impares de n fuesen primos de Ferrnat distintos. Es
decir, que un polígono regular es construible si el número de lados
del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o producto
de una cierta potencia de 2 ( admitiendo 1 como potencia de 2) y
varios primos de Fermat distintos. Esto es lo que en matemáticas
se conoce como una condición suficiente. Así, si un polígono es
de la forma dada por Gauss, es posible construirlo. La pregunta
que surge de forma natural es si esa condición es también necesa-
ria. O sea, verificar si solo es posible construir con regla y compás
los polígonos de esa forma.
Pierre Wantzel, matemático francés, probó en 1837 que efec-
tivamente la condición dada por Gauss también era necesaiia, lo
que convirtió el teorema en una caracterización de los polígonos
regulares que se pueden construir con regla y compás. Lo que los
matemáticos llaman un si y solo si. Es decir, tenemos totalmente
detem1inados los polígonos regulares que podemos construir con
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regla y compás. Así el triángulo (3 = 2 + 1 ), el cuadrado ( 4 = 2i ),
? 1
2°
.,.
el pentágono (5 = 2- + 1), y el hexágono (6 = 2 · (2 + 1)) son cons-
truibles con regla y compás, pero el heptágono regular
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(7 "' 2 " + 1 Vn) no lo es. Continuando, el octógono regular (8 = 2 )
2
2
sí es construible, pero el eneágono regular (9 = 3 "'2 " + 1 Vn) no
lo es. Obviamente, el polígono de 17 lados construido por Gauss
es un ejemplo de polígonos en que su número de lados coincide
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exactamente con un número de Fermat, pues F = 2 + 1 = 1 7.
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42 PRIMEROS DESTELLOS DE UN PRODIGIO DE LOS NÚMEROS