Page 15 - KALKULUS 2 EMY SOHILAIT

C. Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F merupakan antiturunan dari f.

Selanjutnya partisi [a, b] menjadi n subselang dengan menggunakan titik-titik a
= x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.

F(b) – F(a) = [F(xn) – F(xn-1)] + . . . + [F(x2) – F(x1)] + [F(x1) – F(x0)]
n

= F( x )  F( x  i 1  )
i
 i 1
Menurut Teorema Rata-rata untuk Turunan,

F(xi) – F(xi-1) = F’(ci) [xi – xi-1] = f(ci) ∆xi , untuk sebarang ci pada selang [xi-1, xi].
n
Dengan demikian dapat ditulis : F( b)  F( a)   f ( c ) x . . . . . . . . *)
i
i
 i 1
Dengan mengambil limit pada kedua ruas persamaan *) diperoleh

n
F( b)  F( a)  lim  f ( c ) x   b f ( x) dx
n   i i
 i 1 a

Secara formal dinyatakan dalam teorema berikut :

Teorema 1: Jika f kontinu pada selang [a, b] dan F merupakan

b


antiturunan dari f, maka f (x )dx  F (b ) F (a )
a

Contoh :
b

1. Tunjukkan bahwa k dx  k( b  a) k , konstan ta
a
Jawab: Andaikan F antiturunan dari f. Kita dapat menyatakan f(x) = k dan

b


F(x) = kx, sehingga f (x )dx  F (b ) F (a )  kb ka  k (b  ) a
a
b b  a 2
2

2. Tunjukkan bahwa x dx 
a 2
Jawab: Andaikan F antiturunan dari f. Kita dapat menyatakan

b 1 1 b  a 2
2
2
2

2
f (x )  x dan F (x )  1 2 x   f (x )dx  F (b ) F (a )  b  a 
a 2 2 2

12