Page 57 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

−
Maka −1 = [ ]
−
det(X) = ad – bc

det(X) = 1s

Jadi terbukti −1 ∈ (2, ), menurut teorema 1 TERBUKTI (2, ) subgrup dari
(2, )

Teorema A-2 : Misalkan ( ,∗)grup dan H ⊆ G. Himpunan H merupakan

subgrup dari G jika dan hanya jika ≠ Ø dan untuk setiap

, ℎ Є berlaku € H berlaku ∗ ℎ −1 ∈ .

Bukti.
Teorema 2 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui (G, *) grup dengan elemen

identitas e dan H C G. Misalkan

: = merupakan subgrup dari

: = ≠ Ø dan untuk setiap , ℎ Є berlaku ∗ ℎ −1 ∈ .
( ⇒ ) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari . Dibuktikan bahwa juga

benar, artinya ≠ Ø dan untuk setiap , ℎ ∈ berlaku ∗ ℎ −1 ∈ Н.
Karena subgrup dari maka ( ,∗) merupakan grup, artinya ≠ Ø dan bersifat tertutup

terhadap operasi ∗ dan setiap elemen memiliki balikan di H. Ambil sebarang , ℎ Є

maka ℎ −1 ∈ , diperoleh ∗ ℎ −1 ∈ .
Defenisi 2:

Misalkan H dan K masing-masing himpunan bagian dari grup (G, *), maka
−1
1. −1 = {ℎ | ℎ ∈ }
2. = {ℎ ∗ | ℎ ∈ ∈ }

Teorema A-3: Misalkan dan masing-masing merupakan subgrup dari ( ,∗).

Himpunan merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika =
.

Bukti:

Diketahui dan masing-masing merupakan subgrup dari ( ,∗). Kita misalkan pernyataan
dan sebagai berikut.

: = .

: = = .

E-Modul Struktur Aljabar Page 51