Page 58 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

( ⇒ ) Asumsikan = akan dibuktikan merupakan subgrup dari .

Kita akan menggunakan Teorema 3 dengan demikian harus dibuktikan (pertama),

≠ ∅ dan ⊆ G dan (kedua), untuk setiap , ∈ berlaku −1 ∈ .
Bagian pertama, ambil sebarang ∈ maka = ℎ ∗ untuk suatu ℎ ∈ dan ∈
1
1
1
1
. Diketahui H dan K subgrup dari G, artinya h1, k1 Є G. Diperoleh h1 * k1 − G
yang berakibat = ℎ ∗ ∈ . Artinya ⊆ . Jelas HK memuat = е ∗ е . Artinya
1
ℎ
1

≠ 0.
Bagian kedua, ambil sebarang , ∈ , maka = ℎ ∗ , = ℎ ∗ untuk suatu
1
1
2
2
ℎ , ℎ ∈ dan ∈ . Perhatikan bahwa
1
2
2
1
−1
∗ −1 = (ℎ ∗ ) ∗ (ℎ ∗ ) kesamaan elemen
2
1
1
2
∗ −1 = (ℎ ∗ ) ∗ (ℎ ∗ ) =
3
1
1
3
∗ −1 = (ℎ ∗ ( ∗ ℎ ) ∗ ) Asosiatif
1
3
1
3
∗ −1 = (ℎ ∗ (ℎ ∗ ) ∗ ) =
4
3
1
4
∗ −1 = (ℎ ∗ ℎ ) ∗ ( ∗ ) Asosiatif
4
3
1
4
∗ −1 ∈
Berdasarkan bagian pertama dan bagian kedua maka merupakan subgrup dari G.

B. GRUP SIKLIK
Definisi B-1: Misalkan G adalah grup, dan ℤ = {x | x bilangan bulat}. G disebut grup
siklik jika ada g ∈ G sedemikian sehingga G = {g n | n ∈ ℤ}. Elemen g
pada G disebut generator dari grup siklik tersebut.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:
1. Jika G merupakan grup siklik dengan generator g yaitu G = {g n | n ∈ ℤ}, maka grup G itu
cukup ditulis dengan atau (g).
2. Penulisan G = {g n | n ∈ ℤ} yang menyatakan bahwa G grup siklik dengan generator g,

biasanya dipakai untuk grup G yang operasi binernya multiplikatif (perkalian) sedangkan
untuk grup G yang operasi binenya aditif (penjumlahan) dinotasikan dengan G = {ng | n ∈

ℤ}.

Contoh 1:
(ℤ, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 dan -1 karena ℤ = {n(1) | n ∈ ℤ} dan ℤ =

{n(-1) | n ∈ ℤ}. Sedangkan (ℝ, +) bukan grup siklik karena tidak ada satupun unsur g ∈ ℝ
sedemikian sehingga ℝ = {n(g) | n ∈ ℤ}.

E-Modul Struktur Aljabar Page 52