Page 85 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

dengan koset kiri.

Contoh 2:

< Z, + > merupakan grup, dapat ditunjukkan bahwa < 3Z, + > subgrup dari < Z, + >. Bagaimana
dengan koset kanan dari 3Z?

Penyelesaian :

Koset-koset kiri dari 3Z adalah :
0 + 3Z = { …, -6, -3, 0, 3, 6, …} = 3Z

1+ 3Z = { …, -5, -2, 1, 4, 7, …}
2 + 3Z = { …, -4, -1, 2, 5, 8, …}

3 + 3Z = { …, -6, -3, 0, 3, 6, …} = 0 + 3Z = 3Z
-1 + 3Z = { …, -4, -1, 2, 5, 8, …} = 2 + 3Z

dan seterusnya sehingga hanya ada 3 koset kiri, yaoti 0 + 3Z; 1 + 3Z; dann 2 + 3Z atau Z/3Z =

{ 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z }.
Z/3Z = { 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z } (Himpunan semua bilangan bulat modulo 3)

Bagaimana dengan koset kanan ?
Koset-koset kanan dari 3Z adalah :

3Z + 0 = { …, -6, -3, 0, 3, 6, …} = 3Z
3Z + 1 = { …, -5, -2, 1, 4, 7, …}

3Z + 2 = { …, -4, -1, 2, 5, 8, …}

3Z + 3 = { …, -6, -3, 0, 3, 6, …} = 3Z + 0 = 3Z
3Z + (-1) = { …, -4, -1, 2, 5, 8, …} = 3Z + 2

dan seterusnya sehingga hanya ada 3 koset kanan yaitu 3Z + 0; 3Z +1; dan 3Z + 2 atau
Z/3Z = {3Z + 0, 3Z + 1, 3Z + 2}

Ternyata koset kiri = koset kanan.
Teorema A-2

Misalkan G grup dan H subgrup dari G. Maka,
i. = ℎ ∈

ii. = ℎ −1 ∈

iii. ∈ ℎ −1 ∈

Bukti:
i. Misalkan =

Karena = ∈ = ∈

E-Modul Struktur Aljabar Page 80