Page 87 - STRUKTUR ALJABAR_Neat
P. 87
Definisi A-2 H subgrup G, indeks dari H di G adalah banyaknya koset kanan/kiri yang
berbeda dari H di G.
Notasi: [ : ]
Teorema A-3
Jika H subgrup dari G maka setiap koset kiri dan koset kanan dari H mempunyai elemen yang
sama banyak dengan H.
Bukti:
Buat pemetaan : → (ℎ) = ℎ, ∀ℎ ∈
Ditunjukkan bijektif.
i. Ambil sembarang ℎ , ℎ ∈ (ℎ ) = (ℎ )
2
1
1
2
Maka ℎ = ℎ
2
1
Berdasarkan hukum kanselasi kiri diperoleh ℎ = ℎ
2
1
Jadi apabila (ℎ ) = (ℎ ) maka ℎ = ℎ sehingga bijektif.
2
2
1
1
ii. Ambil sembarang ∈
Maka = ℎ untuk ℎ ∈
0
0
Pilih = ℎ
0
Diperoleh ( ) = (ℎ ) = ℎ =
0
0
Jadi untuk setiap ∈ terdapat ∈ dengan ( ) = , sehingga surjektif.
Berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan bahwa bijektif sehingga H dan gH mempunyai elemen
yang sama banyak. Dengan cara yang sama banyaknya dengan gH untuk setiap ∈ .
B. SUBGRUP NORMAL
Dinamakan subgrup normal harus mempunyai sifat bahwa semua kset kiri sama dengan koset
kanannya.
Definisi B-1 Misalkan G grup dan N subgrup dari G. Maka N disebut subgrup normal
dari G jika ∀ ∈ , ∈ −1 ∈ .
Teorema B-1
Buktikan setiap subgrup dari grup komutatif adalah normal
Bukti:
Misalkan G suatu grup dan N subgrup. Karena G komutatif maka untuk setiap ∈ dan ∈
E-Modul Struktur Aljabar Page 82
