Page 89 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

= ∈
−1 ∈ , karena pengambilan g dan n sebarang, maka terbukti

−1 ∈ , ∀ ∈ , ∈

C. GRUP FAKTOR

Teorema C-1

Jika N Subgrup Normal dari grup G, Bangun Himpunan = { | ∈ } didefinisikan operasi *

sebagai berikut:

( ) ∗ ( ) = , ∀ , ∈ < , ∗ .

Bukti:

Operasi * tendifinisi dengan baik artinya akan dirunjukkan pernyataanberikut ini benar

′
′
′
′
( = , = ( ) ∗ ( ) ( ) ∗ ( )
Ambil sebarang ′ ′ ∈ / , misalkan = ′ = yang berarti
′
′
terdapat sehingga = ′ =
1
2
1
2
Perhatikan
′
′
′ ′
( ) ∗ ( ) = = ( ∈ = )
1
2
2
2
= ( = )
1
= ( ∈ = )
1
1
1
= ( = )
=
= ∗ ( )
 Sifat assosiatif dipenuhi:

Ambil sebarang , , ∈

∗ ( ∗ ) = ∗ ( ) =
= ( ) ∗ ( ) = ( ∗ ) ∗ ( ) ( , , ∈ ) (terbukti sifat assosiatif
dipenuhi)

 Sifat Identitas dipenuhi:

Pilih = ∈ , ∈ ℎ: ( ) ∗

( ) = ( ) ∗ ( ) = = (terbukti sifat identitas dipenuhi)
 Sifat Invers dipenuhi:

E-Modul Struktur Aljabar Page 84