Page 84 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

A. KOSET

Teorema A-1

Misalkan G grup dan H subgroup dari G. Didefinisikan relasi ~ ~ pada G dengan aturan:

i. ~ ℎ ∈
−1

ii. ~ ℎ ∈
−1

Maka ~ ~ merupakan relasi ekuivalen.

Bukti:
~ merupakan kelas ekivalen, berarti akan terbentuk partisi ekivalen di G. Sebut kelas ekivalen

memuat a adalah aH
= { ∈ | ~ }

= { ∈ | −1 ~ ∈ }

−1
= { ∈ |( −1 ) ~ ∈ }

= { ∈ | −1 = ℎ, ℎ ∈ }
= { ∈ | = ℎ, ℎ ∈ }

= { ℎ|ℎ ∈ }
Dengan cara yang sama ~ menghasilkan kelas ekivalen yang memuat a adalah

= { ℎ|ℎ ∈ }

Kedua himpunan tersebut dinamakan koset.

Definisi A-1 Misalkan H subgrup dari , ∈ sebarang, maka = ℎ|ℎ ∈

= { ℎ|ℎ ∈
} .

Contoh 1:
1 2 3
Misalkan = { } = ( 1 3 2 ) . Koset yang
1
3
1
terbentuk dari H adalah:

Koset kiri Koset kanan

= { , } = { , }
0
1
1
0
= { , } = { , }
1
2
1
3
1
1
= { , } = { , }
2
3
2
1
2
2

Karena grup permutasi bukan grup komutatif sehingga terdapat koset kanan yang tidak sama
E-Modul Struktur Aljabar Page 79