Page 88 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

berlaku:

= (komutatif)

−1
→ −1 = (kedua ruas dikalikan )
→ −1 ∈ Terbukti N subgrup Normal.

Definisi B-2 Suatu subgrup N disebut subgrup normal dari G jika
= , ∀ ∈

Teorema B-2
Suatu subgrup N dari G merupakan subgrup normal dari G jika dan hanya jika
−1 = ∀ ∈
Bukti :
Berdasarkan teorema di atas, yang perlu dibuktikan :
1. Jika N subgrup normal dari grup G, Maka :
−1 = ∀ ∈
2. Jika −1 = ∀ ∈ , maka N subgrup normal dari G

Bukti 1 : Bukti 2 :

N subgrup normal dari grup maka: Akan dibuktikan

−1 = ∀ ∈ Gn = Ng, ⊆ , ⊆
Dari = , = ∀ ∈ Ambil sembarang ∈ ∈

−1
−1 = ∀ ∈ Karena −1 ∈ ,
−1
−1 = ∀ ∈ ( ) ∈ ( )
−1 = , ∀ ∈ ∈

⊆

−1
−1
Dari teorema di atas, − = dapat diartikan ⊆ dan ⊆

Contoh 1:
Diberikan < G, + > G merupakan himpunan semua bilangan bulat, dan N hipunan bilangan bulat

genap. Diperoleh bahwa N merupakan subgrup dari G. apakah N subgrup normal dari G?!

Penyelesaian :
Akan ditunjukkan ∀ ∈ , ∀ ∈ sebarang kita ketahui bahwa dengan operasi

penjumlahan invers dari g yaitu −1 = − .
Kita perhatikan
−1
−1
−1 = + +
= + + (− )

E-Modul Struktur Aljabar Page 83