Page 38 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU

ì 0 £ x 1 ì x £ x 2
3
£
ï
3
2
2
3
í Û í Û x + y £ x + y = 1
£
3
î 0 £ y 1 ï î y £ y 2
ì x = x 2
3
ï
=
=
max A 1 Û í Û x = 0,y 1 V x 1,y =
=
0
3
ï î y = y 2
+
x y
2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y) ≤ 2(x + y ) = 2 Þ x + y ≤ 2 Þ £ 1. Do đó :
2
2
2
3
( x + y 3 )(x y+ )
3
3
x + y ³ . Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
é 2 2 ù é 2 2 ù 2
3
+
+
3
2
³
2
(x + y )(x y) = ê ( ) ( ) ( ) ( ) ( x . x + y . y ) = (x + y ) =
3
3
+
3
3
y
x
x
y
ú
ú ê
û
ë û
ë
1
1 2
min A = Û x = y =
2 2
188. Đặt x = a ; y = , ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.
b
3
2
2
2
2
2
3
A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = a – ab + b = (a + b) – 3ab = 1 – 3ab.
Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 Û a = 0 hoặc b = 0 Û x = 0 hoặc x = 1, y = 0.
+
(a b) 2 1 1 1 1 1
Ta có ab £ = Þ ab £ Þ 1 3ab ³ . min A = Û x = y =
-
4 4 4 4 4 4
189. Điều kiện : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta có :
-
x 1
-
-
1 x + (x 1)(x 2) - x 2 = 3
-
-
-
x 2
-
-
-
-
-
Û 1 x + (x 1)(x 2) - (x 1)(x 2) = 3 Û 1 x = 3 Û x = - .
-
8
2
2
2
190. Ta có : 6 + 4x + 2x = 2(x + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1) + 4 > 0 với mọi x. Vậy phương trình
2
+
xác định với mọi giá trị của x. Đặt x + 2x 3 = y ≥ 0, phương trình có dạng :
y é = 3 2
2
y - y 2 - 12 = 0 Û (y - 3 2 )(y + 2 2 ) = 0 Û ê
ê y = - 2 2 (loai vì y ³ 0
ë
Do đó x + 2x 3 = 3 2 Û x + 2x + 3 = 18 Û (x – 3)(x + 5) = 0 Û x = 3 ; x = -5 .
2
2
+
191. Ta có :
1 = k. 1 = k æ 1 - 1 ö = k æ 1 + 1 öæ 1 - 1 ö
÷
÷
֍
+
+
+
+
+
è
(k 1) k (k 1)k ç k k 1 ø ç k k 1 øè k k 1 ø
è
æ k ö æ 1 1 ö 1 æ 1 1 ö
= 1+ ÷ ç - ÷ . Do đó : < 2 ç - ÷ .
ç
+
+
+
+
ø
è k 1 è k k 1 ø (k 1) k è k k 1 ø
1 1 1 1 æ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö
+
Vậy : + + + ...+ < 2 1- ÷ + 2 ç - ÷ + ... 2 ç - ÷
ç
+
2 3 2 4 3 (n 1) n è 2 ø è 2 3 ø è n n 1 ø
+
æ 1 ö
= 2 1- ÷ < 2 (đpcm).
ç
+
è n 1 ø
37 www.MATHVN.com