Page 36 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU

1 1 1 9
153. Ta hãy chứng minh : = - Þ A =
+
+
+
(n 1) n + n n 1 n n 1 10
1 1 1 1 1
154. 1+ + + + ...+ > .n = n .
2 3 4 n n
155. Ta có a + 1 = 17 . Biến đổi đa thức trong ngoặc thành tổng các lũy thừa cơ số a + 1
4
3
2
5
A = [(a + 1) – 3(a + 1) – 15(a + 1) + 52(a + 1) – 14(a + 1)] 2000
= (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1) 2000 = 1.
1 1
-
-
156. Biến đổi : a - a 1 = ; a 2 - a 3 = .
-
-
-
a + a 1 a 2 + a 3
-
1 1 1 æ 1 ö 2 æ 1 ö 2
2
2
157. x - x + = x - + + x - x + = ç x - ÷ + ç x - ÷ ³ 0.
x
2 4 4 è 2 ø è 2 ø
1 1
Dấu “ = “ không xảy ra vì không thể có đồng thời : x = và x = .
2 2
2
168. Trước hết ta chứng minh : a b £ 2(a + b ) (*) (a + b ≥ 0)
+
2
-
Áp dụng (*) ta có : S = x 1 + y 2 £ 2(x 1 y 2) = 2
-
-
+
-
ì x = 3
-
-
=
é x 1 y 2 ï 2
ï
maxS = 2 Û ê Û í
+
ë x y = 4 ï y = 5
ï î 2
2
* Có thể tính S rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
1
-
180. Ta phải có | A | ≤ 3 . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức : B = = 2 - 3 x . Ta có :
2
A
2
2
-
-
0 £ 3 x £ 3 Þ - 3 £ - 3 x £ Þ - 3 £ - 3 x £ .
2
-
2
2
0
2
1
2
-
min B = - 3 Û 3 = 3 x Û x = . Khi đó max A = = 2 + 3 Û
2
0
2 - 3
1
-
2
Û max B = 2 Û 3 x = Û x = ± 3 . Khi đó min A =
0
2
-
2x 1 x
181. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = + . Khi đó :
-
1 x x
-
ì 2x 1 x
-
2x 1 x ï = (1)
³
B 2 . = 2 2. B = 2 2 Û í 1 x x
-
-
1 x x ï 0 < x 1 (2)
<
î
2
2
Giải (1) : 2x = (1 – x) Û | x 2 | = | 1 – x |. Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x Û
1
-
Û x = = 2 1.
+
2 1
Như vậy min B = 2 2 Û x = 2 - 1.
-
+
-
-
æ 2 1 ö æ 2x 1 x ö 2 2x 1 1 x
Bây giờ ta xét hiệu : A B = ç + ÷ ç + ÷ = + = 2 1 3
-
-
=
+
-
-
-
è 1 x x ø è 1 x x ø 1 x x
35 www.MATHVN.com