Page 17 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

E. KUNCI JAWABAN

1. G suatu grup komutatif, S dan T masing-masing subgrup dari G. = { | ∈
∈ }. Buktikan bahwa ST subgrup dari G!

Untuk membuktikan bahwa ST adalah subgrup dari grup komutatif G, di man S dan T
adalah subgrup-subgrup dari G, perlu diperiksa tiga syarat untuk menjadi subgrup.

 Memenuhi stabilitas terhadap operasi tertutup: Jika , ∈ , ∈

′
Ambil , ∈ , = = , , ∈, , ∈
′ ′
′
′ ′
′ ′
= ( )( ) = ( ) ′
, = , = ( ) ′
′
′
′
′
ℎ , ∈ ∈ , = ( ) ′ ∈
′
′

 Memenuhi stabilitas terhadap identitas: ∃ ∈
, ℎ
Karena S dan T adalah subgrup-subgrup dari , ∈ , ∈

Jadi, = ∈ , ∈ ∈

 Memenuhi stabilitas terhadap invers: , ∈ , −1 ∈

Ambil ∈ , ∃ ∈ , ∈ ∋ =
Karena G komutatif, −1 = ( ) −1 = −1 −1

Karena S dan T adalah subgrup, −1 ∈ −1 ∈

Jadi, −1 = −1 −1 ∈ , −1 ∈ −1 ∈
Karena memenuhi ketiga syarat tersebut, maka ST adalah subgrup dari grup komutatif

G, di mana S dan T adalah subgrup-subgrup dari G

2. S dan T masing-masing subgrup dari G. Apakah ∪ merupakan subgrup G?!

Misalkan G = Z ( grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan)
Misalkan = 2 = {2 | ∈ } (subgrup dari Z berisi bilangan bulat genap)

Misalkan = 3 = {3 | ∈ } (subgrup dari Z berisi bilangan bulat kelipatan 3)
Dalam kasus di atas:

 ∪ = {2 | ∈ } ∪ {3 | ∈ } = {2 , 3 | ∈ }

 Namun, ∪ tidak memenuhi syarat-syarat untuk menjadi subgrup dari Z:

Misalnya, 2 ∈ 3 ∈ , 2 + 3 = 5 ∉ ∪

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 13