Page 20 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

subgrup G.
9. Bila G suatu Grup, maka E = {e} adalah trivial subgrup dari G. Sedangkan

subgrup dari G selain E dan G sendiri dinamakan subgrup sejati (proper

subgrup)!
Akan kita tujnjukkan bahwa E = {e} adalah sub grub dari G.

sifat ketertutupan dan sifat asosiatif jelas terpenuhi, elemen identitas
adalah e sendiri, sedangkan invers dari e adalah e sendiri.

10. Z4 = {0, 1, 2, 3} ; * = Operasi penjumlahan modulo 4

Apakah 〈 4,∗〉 merupakan grup siklik dan jika ya tentukan generatornya!

4 ≠ ∅ (Dari definisi)
Karena anggota dari 4 berhingga maka hasil operasi dapat dilihat pada table Cayley
berikut ini :

+4 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Dengan melihat table di atas, diperoleh :
1. Aksioma pertama (sifat tertutup) dipenuhi karena semua hasil operasi ada pada

himpunan 4

2. Aksioma kedua (sifat assosiatif) pada penjumlahan modulo 4 dipenuhi pada
bilanagan bulat, karenanya pada 4 juga dipenuhi.

3. Aksioma ketiga (unsur identitas dipenuhi :

∃ 0 ∈ 4 ∀ ∈ 4 ℎ ∗ 0 = 0 ∗ =

4. Aksioma keempat (unsur invers) dipenuhi yaitu : 0 inversnya 0; 1 inversnya 3; dan 2
inversnya 2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa 4 terhadap operasi penjumlahan
bilangan modulo 4 membentuk grup.

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 16