Page 19 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

2
3 ≡ 9 ( 20)
3 ≡ 27 ≡ 7 ( 20)
3
4
3 ≡ 81 ≡ 1 ( 20)
Jadi, elemen-elemen dari <3> dalam U(20) adalah {1,3,9,7}.
 Subgrup <7>

Grup <7> terdiri dari semua kelipatan 3 yang saling kongruen dengan modulo

20. Akan dditunjukkan semua 7 mod 20, di mana n adalah bilangan bulat non

negatif.

1
7 ≡ 7 ( 20)
7 ≡ 49 ≡ 9 ( 20)
2
3
7 ≡ 343 ≡ 3 ( 20)
7 ≡ 2401 ≡ 1 ( 20)
4
Jadi, elemen-elemen dari <7> dalam U(20) adalah {1,7,9,3}
6. (Diserahkan kepada pembaca)

7. (Diserahkan kepada pembaca)

8. Buktikan : Misal G adalah Grup, himpunan H adalah subgrup dari G jika dan
-1
hanya jika untuk ∀ x,y ∈H berlaku xy ∈H!

Diketahui H subgrup dari G

-1
Untuk membuktikan ∀x,y ∈H berlaku xy ∈H
-1
Ambil sembarang x,y ∈H, karena H subgrup maka jelas ∃y ∈H sehingga
-1
-1
xy ∈H. Diketahui xy ∈H untuk ∀x,y ∈H akan kita buktikan bahwa H
grup dari G.

→ Ambil sembarang x ∈ H, maka xy = e∈H, sehingga ada elemen identitas
-1
dari H

-1 -1
-1
→ Ambil sembarang x,y ∈H, ∃y ∈H sehingga xy = x(y ) , artinya berlaku
sifat tertutup di H

-1
→ Ambil sembarang x ∈H, maka Ǝa ∈H, jadi setiap elemen di H

mempunyai invers.

→ Sifat asosiatif jelas dipenuhi karena H⊂ G.

Sehingga dari empat pembuktian tersebut dapat disimpulkan bahwa H

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 15