Page 18 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

Begitu juga untuk invers, tidak semua elemen dari ∪ memiliki invers yang

juga dalam ∪ .
 Juga, hasil penjumlahan dari dua elemen ∪ tidak selalu tetap berada dalam

∪

 Berdasarkan contoh di atas, ∪ tidak selalu merupakan subgrup dari G
jika S dan T adalah masing-masing subgrup dari G.

3. (Diserahkan kepada pembaca)
4. Tentukan semua generator dari , , !
8
20
6
Untuk menentukan semua generator dari grup , , , perlu ditunjukkan elemen-
20
8
6
elemen yang memiliki orde yang sesuai dengan orde grup.
Grup siklik memilki generator jika dan hanya jika generator tersebut bersifat relatif

prima dengan n, sedemikian sehingga gcd(g,n)=1.

 Generator
6
= {0,1,2,3,4,5} 
8
6
= {0,1,2, … ,19}
8
gcd(1,6) = 1
gcd(1,20) = 1
gcd(5,6) = 1 gcd(3,20) = 1
Jadi, generator adalah 1 dan 5 gcd(7,20) = 1

gcd(9,20) = 1
 Generator gcd(11,20) = 1
8
= {0,1,2,3,4,5,6,7} gcd(13,20) = 1
8
gcd(1,8) = 1 gcd(17,20) = 1
gcd(19,20) = 1
gcd(3,8) = 1
Jadi, generator dari adalah

gcd(5,8) = 1 1,3,7,9,11,13,17, dan 19
gcd(7,8) = 1

Jadi, generator adalah 1,3,5, dan 7

5. Daftarkan semua elemen dari subgrup <3> dan <7> dalam U(20)!

Untuk menentukan semua elemen dari subgrup <3> dan <7> dalam U(20). Perlu

ditunjukkan semua kelipatan dari generator masing-masing subgrup.
 Subgrup <3>

Grup <3> terdiri dari semua kelipatan 3 yang saling kongruen dengan modulo

20. Akan dditunjukkan semua 3 mod 20, di mana n adalah bilangan bulat non
negatif.

1
3 ≡ 3 ( 20)

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 14