Page 33 - ARITMETICA 1RO SECUNDARIA

Aritmética 1° Secundaria

20
SEMANA

OBJETIVOS
• Identificar el mayor divisor común y el menor múltiplo común en un grupo de números.
• Elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de MCD y MCM.

Algoritmo de Euclides
Los algoritmos permiten obtener paso a paso resultados de manera consistente y duradera. Un algoritmo
básico es el de Euclides que permite obtener el máximo común divisor de dos números a partir de un proceso
iterativo. Con ayuda de una tabla se van poniendo las divisiones sucesivas a realizar en la fila del medio, los
cocientes en la fila superior y los restos en la inferior y seguimos el hilo de los datos que se obtiene:

Pasos:
1. Ponemos los datos del dividendo "D" y el divisor "d" en dos celdas consecutivas de la fila central y
efectuamos la división, obteniendo un cociente "C" y un resto "r". El cociente se pone encima del divisor "d"
y el resto debajo.
2. Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división, siendo: D = d y d=r.
3. Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto es el
máximo común divisor buscado.

MCD (45;12) = 3

Recuerda
Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Definición
Se llama así al mayor divisor común que tiene un conjunto de números.
Ejemplo:
Sean los números: 8; 12 y 20, cuyos divisores son:
8 ⇒ 1; 2; 4; 8 12 ⇒ 1; 2; 3; 4; 6; 12 20 ⇒ 1; 2; 4; 5; 10; 20

Observamos que los divisores comunes son: 1; 2 y 4, de los cuales el mayor es 4; entonces:
MCD (8; 12 y 20) = 4

Métodos para hallar el MCD

1. Descomposición canónica
Se realiza la descomposición canónica de cada número.

Ejemplo

 Hallar el MCD de 60; 80 y 100
Paso 1: Hacemos la descomposición canónica de cada número.

60 2 80 2 100 2
30 2 40 2 50 2
15 3 20 2 25 5
5 5 10 2 5 5
1 5 5 1
1
60 = 22  3  5 80 = 24  5 100 = 22  52

Paso 2: Para hallar el MCD, tomaremos las bases comunes (en las tres descomposiciones), con los
menores exponentes que tengan.
∴ MCD (60; 80 y 100) = 22  5 = 20

3 Bimestre -32-
er