Page 7 - الجاذبية
P. 7

‫الجذب الكوني والقانون الثالث لكبلر ‬
‫‪Universal Gravitation and Kepler’s Third Law‬‬

‫وضع نيوتن قانون الجذب الكوني بتعابير تنطبق على حركة الكواكب حول الشمس‪ .‬وهذا‬

‫يتفق مع القانون الثالث لكبلر‪ ،‬ويؤكد أن قانون نيوتن في الجذب الكوني يتطابق مع أفضل‬                                                                                                                 ‫ال�شم�س‬
                                                          ‫المشاهدات الحديثة‪.‬‬

‫إذا اعتبرت كوك ًبا ما يدور حول الشمس‪ ،‬كما في الشكل ‪ ،1-5‬فيمكن كتابة القانون الثاني‬

‫لنيوتن في الحركة على الصورة​ ​‪​= ​mp​ ​aC‬محصل​ة‪ ،F‬حيث ‪ F‬قوة الجاذبية‪ ،‬و​ ​‪ mp‬كتلة الكوكب‪،‬‬                                                                                                         ‫‪r‬‬

‫​و‪ ​a​C‬التسارع المركزي للكوكب‪ .‬ولتبسيط أكثر اعتبر المدارات دائرية الشكل‪ .‬ولأنك درست‬
             ‫يفيمالكفنصكتالباةل الساعدلاقسةأالنآاتليتة​س​‪C‬ار​‪p​ a‬ع الم​‪m‬رك=​زمحيصل​ةفي‪F‬الحعلرىكاةلانلحداوئ اريلآةتاليمن‪ ​:‬ت  ​‪_r‬ظ​‪ ​_2‬م‪_2​​π‬ة‪_​T​4‬ي‪_​p‬س​‪ ​_m‬او ​=ميح​  ​‪_r‬ص ​ل​‪​2​2‬ة_‪._​ 4F_​T​π‬‬
‫=​ ​‪ ،aC‬لذا‬                                                                                                                                                                                                          ‫كوكب‬
‫والمقصود‬                                                                                                                                                                                          ‫ال�شكل ‪ 1-5‬كوكب كتلته​​ ​‪ mp‬ون�صف‬

‫بـ‪ T ‬في هذه المعادلة الزمن اللازم لدوران الكوكب دورة كاملة حول الشمس‪ .‬وإذا ساويت‬
‫قط��ر م��داره ‪ ،r‬ي��دور حول ال�شم���س الحد الأيمن في هذه المعادلة بالحد الأيمن لقانون الجذب الكوني تحصل على النتيجة الآتية‪:‬‬
                                                                                                                                                                                                     ‫التي كتلتها​​​‪.ms‬‬
                                                ‫​   ​‪G _ ​​m_s​_​m​r​2_ ​​p_ ​  ​ = _ ​​m_p​_T​ 4​ _2​π​ ​ _2​ _r‬‬  ‫			‬

                                                   ‫​‪(  )T​ 2​ ​= _​ _​ _G​ 4​ __πm__2​__​s​ ​  ​ _​_r​ _​3‬‬         ‫			‬
                                                   ‫  ​‪√ (  )T= ​ ​ _​ ​G4​ _πm_2​_​s ​​  ​  ​r​3‬‬
                                                                                                                   ‫			‬

             ‫يمكن التعبير عن الزمن الدوري لكوكب يدور حول الشمس كما يأتي‪:‬‬

                  ‫____ √‬                        ‫الزمن الدوري لكوكب يدور حول الشمس	 	‬

             ‫  ​  ​​‪T = 2π ​ _ ​G​ _r​m_​3 ​_s‬‬

‫وبتربيع الطرفين يتبين أن هذه المعادلة هي القانون الثالث لكبلر في حركة الكواكب‪ .‬حيث‬

‫يتناســب مربع الزمن الدوري طرد ًّيا مع مكعب المســافة الفاصلة بين مراكز الأجســام‪.‬‬
‫ويعتمد المعامل ​  ​ ​‪ ​ _​G​4_πm_​2_​s‬على كتلة الشــمس وثابت الجذب الكوني‪ .‬وقد وجد نيوتن أن هذا‬

                                 ‫الاشتقاق ينطبق كذلك على المدارات الإهليلجية‪.‬‬

               ‫‪B‬‬                ‫اكتشــف الفلكيون ثلاثة كواكب تدور حول النجــم ‪ Upsilon‬وهذه الكواكب هي‪:‬‬
                            ‫الكوكب ‪ B‬الــذي يبلغ نصف قطر مداره ‪ 0.059 AU‬وزمنــه الدوري ‪ 4.6170‬أيام‪D ،‬‬
‫‪C rC rB‬‬                    ‫والكوكــب ‪ C‬يبلغ نصــف قطر مداره ‪ 0.829 AU‬وزمنـــه الـــدوري ‪ 241.5‬يو ًما‪rD ،‬‬

                    ‫‪‬‬       ‫والكوكــب‪ D ‬الذي يبلغ نصف قطر مــداره ‪ 2.53 AU‬وزمنه الــدوري ‪ 1284‬يو ًما‪.‬‬
                  ‫‪Upsilon‬‬                                       ‫(المسافة بين الأرض والشمس تساوي ‪)1.00 AU‬‬

                                                               ‫‪ .1‬هل تحقق هذه الكواكب القانون الثالث لكبلر؟‬

                                                            ‫‪ .2‬أوجد كتلة النجم ‪ Upsilon‬بدلالة كتلة الشمس‪.‬‬

                                                                                                        ‫‪14‬‬
   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12