Page 5 - Решение задачи №14

Задача 1.3.

Точки M и N – середины ребер соответственно AB и BC параллелепипеда ABCDA B C D .
1
1
1 1
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M , N и D .
1
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро AA ?
1

Решение:

а) В плоскости основания  ABC параллелепипеда
построим прямую MN . Прямые, лежащие в одной
плоскости, пересекаются MN СD  X . Точка
2

X  DDC . Построим прямую D X . Прямые
2
1
2
1 1
D X 2 СС  M .
2
1
1
Прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются

MN AD  X . Точка X   ADD . Построим
1
1
1
прямую D X .
1
1
Прямые D X 1 AA  M . Пятиугольник MM D M N
1
1
1
1
2
1
- искомое сечение.


б) X AM   NBM равны по второму признаку равенства треугольников. AM  MB ,
1
 X AM   NBM  90 и вертикальные углы AMX   BMN . Следовательно, сходственные

1
1
1
элементы треугольников равны. AX  BN  BC .
1
2
AX 1
 D DX 1  M AX подобны по первому признаку с коэффициентом подобия k  1  .
1
1
1
DX 1 3
DD X D
Следовательно, 1  1  3. Тогда A M 1 : M A  2:1.
1
1
M A X A
1
1
Ответ: Плоскость сечения делит ребро A A в отношении 2:1, считая от вершины A .
1
1

4