Page 6 - Решение задачи №14

Задача 1.4.

Точка M – середина ребра параллелепипеда ABCDA B C D .
1 1
1
1
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M , A иC .
1
1
:
б) Пусть секущая плоскость пересекает прямую DD в точке P . Найдите отношение PD PD .
1
1
Решение:

а) Точки A , C принадлежат плоскости верхнего основания  A BC параллелепипеда.
1
1
1 1 1
Проведем прямую AC . Точки M и C принадлежат плоскости
1
1
1

боковой граниDDC . Прямые C M и DD пересекаются в
1
1
1 1
точке P , так как они принадлежат плоскости боковой грани

DDC .
1 1

P  DD . Следовательно, P  AAD . Построим прямую PA .
1
1
1
1
PA 1 AD  F . Четырехугольник AC MF – искомое сечение.
1
1

б) Прямые AC 1 MF , так как плоскости оснований параллелепипеда параллельны и пересечены
1
плоскостью сечения. Линии пересечения плоскостей параллельны по свойству параллельных
1
плоскостей. MF  AC Следовательно, MF - средняя линия треугольника PAC . По теореме
2 1 1 1 1
Фалеса A F FP  1 : D D : DP  1:1.
1

Следовательно, PD PD  1: 2 .
:
1
Ответ: отношение PD PD  1: 2 .
:
1

5