Page 16 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik
P. 16
BUKTI 1.
Pernyataan diatas dapat dibuktikan sebagai:
= < > | | = ℎ → ( = → = ℎ)
ℎ
Bukti:
Dalam logika kita memiliki equivalensi: → ≅ ∩
ℎ
Andaikan = → = ℎ, ( = ) ∩ ( ≠ ℎ)
ℎ
MIsalkan > ℎ maka −ℎ = , dengan − ℎ > 0
Misalkan m = bilangan bulat positif terkecil sehingga =
Ambil sembarang ∈ = < > maka = , untuk suatu ∈ menurut alogaritma
pembagian maka ∃! , ∈ э = + , dengan 0 ≤ < , sehingga dipero = =
+ = ( ) = =
Jadi ∀ ∈ ∃ ∈ э = dengan 0 ≤ <
0
1
2
Sehingga unsur-unsur G dapat ditulis { , , , … , −1 }
Timbul kontradiksi bahwa G memiliki unsur-unsur tak berhingga. Jadi pengandaian itu salah,
ℎ
yang benar adalah = → = ℎ
Contoh 6:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, dengan operasi penjumlahan modulo 6
6
Apakah merupaka grup siklik? Jika ya tentukan generatornya.
6
Dengan menggunakan tabel Cayley dapat ditunjukkan bahwa merupakan grup siklik dengan
6
generator 1 dan 5
Bukti:
Untuk bukti merupakan grup dapat dibuktikan sendiri.
6
5 merupakan generator dari grup
6
16
