Page 15 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik

Jika ∈ ( )

Kasus I: Jika = { } =< >

Kasus II: Jika ≠ { } maka H pasti memuat unsur-unsur yang berbentu > 0

Andaikan m = bilangan bulat positif terkecil ∋ ∈ … … … … ( )

Ambil sembarang ∈ = ∈
Dengan algoritma pembagian maka ∃! , ∈ ∋ = +

Dengan 0 ≤ < ℎ = = + dengan 0 ≤ <
Atau

∈

= =

= −

= ( ) ∈

Jadi ∈ 0 ≤ <

Andaikan ≠ 0 0 < < 0 berarti ada bilangan bulat positif <

Sehingga ∈ atau m bukan bilangan bulat positif terkecil sehingga ∈ … … ( )

Timbul kontradiksi yaitu antara (A) dan (B)

Jadi pengndaian salah, yang benar = 0

Jika = 0 ini berarti = sehingga = = = ( ) ∈ , ∀ ∈ =
, >

Terbukti H subgrub siklik

KLASIFIKASI DARI GROUP SIKLIK:

1. G grup siklik dengan banyaknya unsur tak terhingga maka pada G berlaku sifat : =
ℎ
→ = ℎ
2. G grup siklik dengan banyaknya unsur berhingga (n unsur) maka pada G berlaku sifat

ℎ
= → membagi (k-h)

15