Page 10 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik

Teorema A-7

Z(G) merupakan subgrup dari G

Gunakan Teorema A-1

Bukti:

Z(G) ≠ ϕ karena ada ∈ yang memenuhi = , ∀ ∈ , jadi ∈ Z(G)

Z(G) ⊆ G dari definisi

Ambil sebarang , ∈ Z(G) menurut definisi = dan = , ∀ ∈

Akan ditunjukkan ∈ Z(G) artinya akan ditunjukkan = dan ∈

Perhatikan:

=

−1
−1
−1
( ) −1 = ( )
−1
−1
( ) −1 = ( −1 )
−1 = −1

−1
−1 =

T’erbukti −1 ∈ Z(G),

Karena kedua sifat dari teorema A-1 dipenuhi maka terbukti bahwa Z(G) merupakan subgrup
dari G.

Definisi A-3

Centralizer dari a dalam grup G ditulis ( ) = { ∈ | = }

Teorema A-8

( ) merupakan subgrup dari G

Bukti:

Misalkan e elemen identitas dari G dan = maka ∈ ( ) sehingga ( ) = maka
( ) ⊂ , jadi ( ) suatu kompleks dari G

Ambil sebarang , ∈ ( ) maka = dan = . Selanjutnya perhatikan bahwa:

10