Page 9 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik

Bukti :
Misalkan ∀ , ∈
1. Ambil sembarang , ∈ diperoleh ∗ ∈ maka ada −1 ∈ sehingga misalkan
= = −1 dengan menggunakan teorema A-2 maka ∗ = ∗ ( −1 −1 =
)
−1 ∈ (teorema A-2 terpenuhi).

−1
2. Ambil sembarang ∈ , ∈ diperoleh ∗ = ∗ = atau −1 ∈ ,

sehingga unsur identitas ∈ ada dalam H ( ℎ ).

3. Ambil sembarang , ∈ kemudian misalkan = = diperoleh ∗ −1 =
maka karena H bukan himpunan kosong diperoleh ∗ = −1 (aksioma 2)
kemudian ℎ −1 = ∗ ∈
Dengan dipenuhi aksioma pertama dan keempat menurut teorema A-2 maka H
merupakan sub grup dari 〈 ,∗〉.

Teorema A-4
H himpunan yang berhingga dan tak kosong dari grup G. H subgrup dari G Jika H
memenuhi sifat tertutup .
−1
Menurut Teorema A-3, perlu ditunjukkan bahwa ∈ , untuk setiap ∈ .
−1
Jika = , maka = ∗ ∈ (terbukti)
Jika ≠ , perhatikan barisan , , … . Dari sifat ketertutupan, semua elemen dalam
2
barisan tersebut ada di H. Karena H berhingga, tidak semua elemennya berbeda.

Misalkan > dan > . Maka − = . Karena ≠ , maka − ≥ 1. Jadi a i−j−1 =
−1
a i−j = . Dengan kata lain, a i−j−1 =a . Tetapi − ≥ 1 mengakibatkan a i−j−1 ∈ (Bukti
selesai).
Teorema A-5

Jika S dan T masing-masing subgrup dari G maka ∩ subgrup dari G.

Bukti:

∩ ≠ karena ada ∈ dan ∈ jadi ∈ ∩

Ambil sebarang ∈ ∩ maka ∈ dan ∈ sehingga ∈ jadi ∩ ⊆

Ambil sebarang , ∈ ∩ maka , ∈ dan , ∈ karena S dan T subgrup dari G

maka −1 ∈ dan −1 ∈ jadi −1 ∈ ∩ . Menurut teorema A.2 ∩ subgrup dari G
(Terbukti).

Definisi A-2

Center dari grup G ditulis ( ) = { ∈ | = , ∀ ∈ }

9