Page 7 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik

Untuk membuktikan masalah diatas kita gunaka teorema A-1 .

1 3
SL (2,Z) ≠ ∅ karena A = [ ] ∈ SL(2,Z)
1 4

Ambil sembarang X, Y ∈ SL (2,Z)

Akan ditunjukkan XY ∈ SL (2,Z)

Andaikan : X = [ ] dan Y = [ ] dengan ad-bc = 1; ru-st = 1; dan a,b,c,d,r,s,t,u ∈ Z

+ +
XY = [ ]
+ +

Entri-entri dari XY merupakan bilangan bulat, bagaimana dengan det (XY), apakah det (XY)
= 1.

-1
Selanjutnya akan dibuktikan ∀ ∈ maka X ∈ SL (2,Z)
Ambil sembarang X ∈ SL (2,Z),

−
-1
Andaikan X = [ ] dengann ad-bc = 1; a,b,c,d ∈ Z maka X = [ ]
−
Det (X) = ad – bc = 1

-1
Jadi terbukti X ∈ SL (2,Z) , menurut teorema A-1 terbukti SL (2,Z) subgrup dari GL (2,R).

TEOREMA A-2

Suatu subset H yang tidak kosong dari grup 〈 ,∗〉 merupakan subgrup dari G jika dan hanya

jika : ∀ , ∈ maka ∗ −1 ∈

Bukti teorema diatas juga terdiri dari dua bagian :

≠ ∅ ⊆

1. Jika H subgrup dari G maka berlaku ∗ −1 ∈ ∀ , ∈
2. Jika ∀ , ∈ berlaku ∗ −1 ∈ maka H subgrup dari G

Bukti 1 :

H subgrup dari G maka H grup berarti memenuhi keempat aksioma grup .maka ambil

sembarang , ∈ menurut aksioma keempat −1 ∈ selanjutnya dengan aksioma
pertama dipenuhi ∗ −1 ∈ (terbukti)

7