Page 8 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik
P. 8
Bukti 2 :
Ambil sembarang ∈ diperoleh ∗ −1 ∈ atau ∈ (dipenuhi aksioma
ketiga).
Ambil sembarang , ∈ diperoleh ∗ −1 ∈ atau −1 ∈ (aksioma keempat
dipenuhi).
Ambil sembarang , −1 ∈ diperoleh ∗ ( −1 −1 ∈ atau ∗ ∈ (aksioma
)
pertama dipenuhi).
Dengan dipenuhi aksima pertama dan keempat menurut teorema A-1 maka H
merupakan sub grup dari G.
CONTOH 3 :
Z = Himpunan semua bilangan bulat , operasi * didefinisikan sebagai penjumlahan
biasa .dari contoh 1 diketahui bahwa 〈 ,∗〉merupakan grup. H adalah himpunan semua
bilangan genap .Tunjukan bahwa H merupakan subgrup dari Z.
Penyelesaian :
Dari soal diatas ⊆ dan ≠ ∅ karena 4 adalah bilangan genap maka 4 ∈ .
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa 〈 ,∗〉 merupakan grup.
untuk membuktikan soal di atas dapat di gunakan definisi subgrup dan teorema yang
berkaitan yaitu teorema A- 1 ataupun A-2 dengan definisi grup dapat dilakukan seperti
contoh sebelumnya dengan teorema A-2 :
Ambil sebarang , ∈ dari definisi dapat ditulis = 2 dan = 2 ; , ∈
(bilangan bulat)
− = + (− ) = 2 + (−2 )
= 2( − ), = ( − ) ∈
= 2 ∈ (sifat dari teorema a-2 dipenuhi)
Teorema A-3
Suatu himpunan bagian H tidak kosong dari G dikatakan subgrup dari 〈 ,∗〉 jika dan
hanya jika :
1. H tertutup terhadap operasi biner *
2. unsur identitas ∈ ada dalam H ( ∈ maka ∈ )
3. ∀ ∈ −1 ∈
8
