Page 12 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik

2) ⊆ (Dari definisi H sendiri)

3) Sifat tertutup
Ambil sembarang , ∈ maka menurut syarat keanggotaan dari ∃ , , ∈

∋ = dan =
Akan ditunjukkan ∗ ∈
∗ = ∗

= + , + ∈

= + ∈
Jadi, ∗ ∈

4) Sifat identitas ( ∈ maka ∈ )
Karena G grup maka ∈ (Unsur identitas)

= , 0 ∈ maka = ∈
0
5) Sifat Invers

Ambil sembarang ∈ maka ∃ ∈ ∋ = , karena ∈ maka − ∈ −1 =
− ∈

Dengan demikian ketiga syarat (3,4,5) tersebut dipenuhi maka terbukti ≤

Definisi B-2 :

Grup H pada teorema B-1 diatas disebut subgroup siklik dengan generator a dan dinotasikan

< >.

Definisi B-3:

Suatu grup G dikatakan grup siklik jika terdapat ∈ sehingga < ≥

Contoh 1:

= {0, 1, 2, 3};∗= ℎ 4
4
Apakah < ,∗> merupakan grup siklik dan jika ya tentukan generatornya .
4

Penyelesaian :

≠ ∅ (Dari definisi)
4

Karena anggota berhingga maka hasil operasi dapat dilihat pada table cayley 3.4 berikut ini:
4

12