Page 14 - E-Modul Grup dan Subgrup Siklik

Unsur 1

−1 1
2
1
1 = 1 1 −1 = (1 ) = (3) = 3
1 = 1 + 1 = 2 1 −2 = (1 ) = (3) = 3 + 3 = 2
2
−1 2
2
−1 3
3
3
1 = 1 + 1 + 1 = 3 1 −1 = (1 ) = (3) = 3 + 3 + 3 = 1
−1 4
4
4
1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 0 1 −1 = (1 ) = (3) = 3 + 3 + 3 + 3 = 0
5
5
−1 5
1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 1 −1 = (1 ) = (3) = 3 + 3 + 3 + 3 + +3 =
3
...................................... ................................................................

..................................... .................................................................

...................................... .................................................................

< 1 ≥ {1 | ∈ } =
4
Dengan demikian 1 merupakan generator

Sehingga merupakan grup siklik
4
Untuk generator yang lain selidiki sendiri

Contoh 2

Z = Himpunan bilangan bulat

Dengan operasi penjumlahan biasa 〈 , +〉 merupakan grub 〈 , +〉 merupakan grub siklik

dengan generator -1 dan 1 ( selidiki).

Teorema B-2 (Klasifikasi Subgrub dari Grub Siklik)

Setiap subgrub dari grub siklik adalah siklik.

Bukti:

Subgrub dari grub siklik merupakan siklik.

Misalkan =< > merupakan ggrub siklik, dan ≥ ( H subgrub dari G)

Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grub siklik.

< >, ≥ maka elemen-elemen dalam H pasti berbentuk ∈

14