Page 19 - Kalkulus Lanjut

2.5 Aturan Rantai
Tinjau fungsi dua variabel z=f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi dari u dan v, yakni.

Dengan mensubstitusikan fungsi x dan y diperoleh hubungan z=f(x(u,v),y(u,v)), sehingga z
menjadi fungsi dua variabel u dan v. Dengan demikian kita dapat mencari turunan parsial

pertama.

Teorema

Jika mempunyai turunan parsial pertama di titik (u,v) dan jika z=f(x,y)
diferensiabel di titik (x(u,v),y(u,v)), maka z=f(x(u,v),y(u,v)) mempunyai turunan

parsial pertama di (u,v), yang memenuhi

Teorema

Jika x=x(t) , y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang differensiabel di t, dan w=f(x,y,z)
diferensiabel di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) differensiabel di t,

dan

Aturan Rantai Fungsi n Variabel definisi di atas dapat diperluas untuk fungsi n variabel. Jika

v1, v2, … , vn adalah fungsi-fungsi satu variabel t, maka w= f(v1, v2, … , vn) adalah suatu fungsi

t, dan rumus aturan rantai untuk
dw =  w dv 1 +  w dv 2 +  w dv n

dt v  1 dt v  2 dt + ... v  n dt
Maka, dapat digunakan diagram pohon dengan situasi seperti ini.

Rumusan Umum Aturan Rantai

Jika z adalah fungsi n variabel dan variabel tersebut adalah fungsi dari m variabel

. Maka untuk .

15