Page 34 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

Metode Lagrange
1. Pecahkan persamaan berikut:
 f (x , , y ) z =   g (x , , y ) z

g (x , y , z ) = 0

f
2. Masukkan semua solusi diatas (x , , y ) z dari langkah pertama diatas ke (x , , y ) z dan

identifikasi nilai minimum dan maksimum.

Nilai konstan  diesbut Lagrange Multiplier

Bila diperhatikan dan diuraikan, sistem persamaan diatas mempunyai 4 persamaan yaitu:

f  (x , , y ) z =   g (x , , y ) z
( f x , f y , f z )(x , , y ) z =  (g x , g y , g z )(x , , y ) z

, g 

( f x , f y , f z )(x , , y ) z = ( g  y , g z )(x , , y ) z
x
Vektor diatas diuraikan dalam komponen vektor menjadi
f x (x , , y ) z =  g x (x , , y ) z
f y (x , , y ) z =  g y (x , , y ) z

f z (x , , y ) z =  g z (x , , y ) z

Ketika persamaan di atas bersama dengan persamaan fungsi kendala g (x , y , z ) = 0 ,

menjadikan empat persamaan dengan empat faktor tidak diketahui yaitu x,y,z, dan  .
Untuk fungsi objektif dua variabel, maka dimiliki tiga persamaan dengan tiga faktor yang

tidak diketahui yaitu x,y, dan  .

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f ( x, y, z = 5 x − 2 y + z dengan
)

, y
(x , ) z terletak pada bola x 2 + y 2 + z 2 = 30 .
Penyelesaian:

Fungsi Objektif f ( x, y, z = 5 x − 2 y + z
)

Fungsi Kendala ( yxg , , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 30 = 0

30