Page 32 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

Teorema

(Uji Parsial Kedua)

f
Andaikan (x , ) y mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam suatu lingkungan dari

x , y dan bahwa f (x , y ) = 0 . Ambil
0 0 0 0

D = D (x 0 , y 0 ) = f xx (x 0 , y 0 ).f yy (x 0 , y 0 ) − f 2 xy (x 0 , y 0 )

Maka:

f
✓ Jika D > 0 dan f xx (x 0 , 0 ) y < 0, maka (x 0 , y 0 ) adalah nilai maksimum lokal.

f
✓ Jika D > 0 dan f (x , ) y > 0, maka (x , y ) adalah nilai minimum lokal.
xx 0 0 0 0
f
✓ Jika D > 0 dan f xx (x 0 , 0 ) y < 0, (x 0 , y 0 ) bukan nilai ekstrem (x 0 , y 0 ) adalah titik
pelana.

✓ Jika D = 0 , uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan.

Contoh:

1. Tentukan semua nilai ekstrem dari fungsi ( y = 3 2xy − y
) x +
2
f
, x

Penyelesaian:

Titik-titik kritis fungsi tersebut diperoleh dengan menyelesaikan

✓ f x , ( y ) = 0
x
f x (x , y ) = 0
f
= 0
x
3 2
(  x + 2xy − y ) =
x 0
2 =
3x 2 + y 0 ) 1 (

28