Page 31 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

2.8 Aplikasi Turunan Parsial
2.8.1 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Variabel

Misalkan p = (x , ) y adalah sebuah titik perubah p = (x 0 , y 0 ) adalah sebuah titik tetap
0
pada bidang berdimensi dua (kedua titik tersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang dimensi-

n).

Definisi

Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S dan misalkan adalah sebuah titik di
S.
adalah nilai maksimum global dari f di S jika untuk
seluruh di S.

adalah nilai minimum global dari f di S jika untuk
seluruh di S..

adalah nilai ekstrem global dari f di S jika bukan nilai

maksimum global dan bukan nilai minimum global.

Teorema

(Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum)

Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai

maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.

Titik-titik kritis dari f pada S ada tiga jenis:
1. Titik-titik batas

2. Titik-titik kritis stationer, p titik stasioner jika p adalah sebuah titik-titik dalam
0
0
di S di mana f dapat didiferensialkan dan  p 0 ) = 0 . Di titik tersebut, semua
( f
bidang singgung akan horizontal.

3. Titik tunggal (singular point). p sebagai titik tunggal jika p adalah sebuah titik
0
0
dalam di S di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalkan, sebuah titik di mana

grafik dari f mempunyai sebuah sudut lancip.

Teorema

(Teorema Titik Kritis)

Andaikan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p . Jika (pf 0 )
0

adalah suatu nilai ekstrem, maka p haruslah berupa suatu titik kritis,
0
27