Page 27 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

f  f 
( f , g) =  u v  = f u f v
( u, v)  g  g g u g v
 u v 

Jika f(u,v,w), g(u,v,w) dan h(u,v,w) juga dapat didiferensiasi dalam sebuah daerah, maka
(  , f , g ) h
Determinan Jacobi, atau f dan g terhadap u dan v dinyatakan dengan dan
 (u , , v ) w

didefinisikan sebagai
f  f  f 
u  v   w f f f
w
( f , g, h) = g  g  g  = g u g v g
( u, v, w) u  v   w u v w
h  h  h  h u h v h w
u  v   w

Contoh:

Jika = cos , = sin dan ℎ = .

Tentukan ( , ,ℎ)

( , , )
Penyelesaian:

f  f  f 
r   z  cos − sin  0
( f , g, h) g  g  g 
2
2
= = sin  r cos 0 = r cos  − ( r − sin  )
( r, , z) r   z 
h  h  h  0 0 1
r   z 
= r(cos  − sin  ) = r
2
2

2.7.2 Turunan Menggunakan Jacobian

Jacobian seringkali terbukti berguna untuk mendapatkan turunan parsial dari fungsi-
fungsi implisit. Sebagai contoh jika diketahui persamaan-persamaan simultan

f (x , y ,u , v ) = 0dan (x , y ,u ,v ) = 0.
g
Secara umum diasumsikan u dan v sebagai fungsi dari x dan y. Dalam hal ini, diperoleh

23